Exponentielle Prozesse und Zinsrechnung

Okay, es geht darum: Wenn der Anfangswert gegeben ist - c ist bekannt - und wenn der Prozentsatz bekannt ist - 5 % zum Beispiel - mit dem eine Größe pro Zeiteinheit zunimmt, also 5 % Zuwachs. Das ist bekannt.
Jetzt soll der exponentielle Prozess beschrieben werden, und zwar mit einer Exponentialfunktion.
"f(t)=", zum Beispiel. "f(t)=", was?
c×a^t
Man kann es auch anders schreiben - mit dem "e". Wie sieht es dann aus?
Dann hätten wir:
c×e^k×t
k ist der Wachstumsfaktor. a ist die Basis. c ist immer der Anfangswert. Und:
k=ln(a)
Warum ist k=ln(a)?
ln(a) ist die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um a zu erhalten. Wenn man nun e mit dieser Zahl potenziert, mit der man e potenzieren muss, um a zu erhalten, erhält man a. Deshalb ist e^k=a und ×t, dann haben wir die Sache hier.
Potenzgesetz: Wenn man e^k mit t potenziert, kann man die beiden Exponenten miteinander auch multiplizieren.
Und jetzt, da c bekannt ist, fehlt uns nur noch a bzw. k, der Wachstumsfaktor. Vorschläge?
Also ich stelle mir das ja jetzt ein bisschen einfacher vor. Und zwar sieht diese Funktion ja ziemlich kompliziert aus und deswegen stelle ich mir das immer so: Man hat ja einmal in der 10. Klasse Zinsrechnung gemacht und da gab es die Funktion bzw. die Gleichung, dass Kn=K0×(1+p/100)^n.
Warum ist das so?
Wenn wir jetzt 100 Euro haben und die sollen jetzt mit 5 % verzinst werden, dann können wir einfach rechnen:
100×1,05
Also 1+p/100.
5%=0,05
1+0,05=1,05
Dann kriegt man hierauf im nächsten Jahr wieder Zinsen und muss das Ganze wieder mit 1,05 multiplizieren, dann im nächsten Jahr wieder mit 1,05 multiplizieren usw. Das ist nichts anderes als 100×1,05^3 und das steht alles in dieser Formel drin.
Jetzt wissen wir:
Wir haben ja 5 % Zuwachs - können wir einfach in die Formel einsetzen. Wir wissen, c ist bekannt. c, sehen wir hier, steht bei uns als K0, ist ja das Gleiche. c können wir jetzt meinetwegen als 150 bestimmen und dann haben wir im Grunde nur noch n und Kn als Variablen. Aber wir haben unser n, das identisch mit dem t ist. n=t. Jetzt brauchen wir noch a. Und was ist a? a ist das, was potenziert wird. Es bleibt nur das über. t=n, c=K0 und die Klammer ist a.
Das heißt, man muss also nichts anderes machen, als den Prozentwert zu nehmen und den zu 1 zu addieren. Und das ist =a und das ist das Einzige, was wir gesucht haben. Das ist fast die ganze Rechnung.
Jetzt brauchen wir noch k. Wie finden wir k jetzt heraus?
k, wissen wir, haben wir eben schon definiert, ist der ln(a). Wenn a=1+5%, dann ist k=ln(1+5%).
Das habe ich noch vergessen: f(t)=Kn.
Das gilt natürlich nicht nur bei Zinsen, das gilt allgemein. Wenn man den Prozentsatz gegeben hat, mit dem die Größe pro Zeiteinheit zunimmt oder abnimmt, und c bekannt ist, muss man eigentlich nur noch das hinschreiben und hat a und hat damit auch k. Wenn es eine Abnahme um 5 % ist, kommt hier ein Minus hin und da auch.
Du hast gesagt, das ist kompliziert. Ich finde, das ist komplizierter.
Ja, es sieht komplizierter aus, weil man denkt: "Wie soll man jetzt das a finden?"
Aber, wenn man dann so eine Formel vor sich liegen hat, merkt man auf einmal: Es ist gar nicht mehr so schwierig.
Erst denkt man nur: "Oh, ein Buchstabe, was macht man jetzt? Eine Variable, wie kriege ich die weg?"
Aber, wenn man sich dann wieder vorstellt, was man früher gelernt hat, finde ich, ist das einfacher. Weil man denkt: "Ah, man kann das anwenden, was man früher schon einmal gemacht hat."
Und schwupps, hat man die Rechnung.
Ich bin überzeugt. Schön.