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Transkript Exponentialgleichungen – Beispiele (2)

Hallo, und herzlich willkommen zu diesem Video. Wir wollen hier das Rechnen mit Exponentialgleichungen üben.   Die 1. Aufgabe, die wir rechnen wollen lautet: 32x+3=4×2x. Gesucht ist also die Lösungsmenge, das ist die Menge aller x Element IR für die diese Gleichung gilt. Also 32x+3=4x2x. Zuerst logarithmieren wir auf beiden Seiten. Das geht am Besten mit dem natürlichen Logarithmus, weil wir jeweils unterschiedliche Basen haben. So, jetzt können wir nach diesem Logarithmusgesetz hier, den Exponenten vor den Logarithmus schreiben. Also: (2x+3)×In3. Auf der rechten Seite können wir den Exponenten nicht so einfach nach vorne ziehen, hier müssen wir vorher dieses Logarithmusgesetz noch anwenden. Dadurch wird der Logarithmus in die Summe von 2 Logarithmen aufgeteilt und wir können das x als Exponenten wieder vor den Logarithmus ziehen. Jetzt multiplizieren wir das Ganze aus und bringen alle x-Terme auf eine Seite. Also 2x×In3-x×In2=In4-3×In3. Jetzt können wir leicht das x ausklammern und nach x auflösen, dann erhalten wir: x=(In4-3×3In3)/(2×In3-In2). Jetzt können wir das Ganze noch ein bisschen vereinfachen, indem wir das gelbe Logarithmusgesetz wieder rückgängig machen, also den Faktor vor dem Logarithmus in den Exponenten holen. Jetzt können wir das blaue Logarithmusgesetz noch einmal verwenden und dadurch zusammenfassen, dann ist x=(In4/27)/(In9/2); und wenn man das jetzt in den Taschenrechner eingibt, erhält man ungefähr: -1,269 usw.. Jetzt müssen wir nur noch formal die Lösungsmenge aufschreiben und damit ist dann die Aufgabe gelöst.. Kommen wir nun zur 2. Aufgabe, die lautet folgendermaßen: (3/2)3x+4=(2/3)2x+6 - auch hier müssen wir zunächst die Lösungsmenge angeben. Das ist also die Menge aller x Element der rationalen Zahlen, für die diese Gleichung hier gilt. Für diese Aufgabe möchte ich euch 2 Lösungswege präsentieren, zuerst der etwas kompliziertere:  Wir logarithmieren wieder auf beiden Seiten der Gleichung und verwenden das Gesetz, dass man den Exponenten vor den Logarithmus schreiben kann. Dann erhalten wir also: (3x+4)×In(3/2)=(2x+6)×In(2/3). Jetzt multiplizieren wir wieder auf beiden Seiten aus und bringen die x-Terme auf eine Seite. Dann erhalten wir also: 3x×In(3/2)-2x×In(2/3)=6×In(2/3)-4×In(3/2). Jetzt kann man das x wieder ausklammern und nach dem x auflösen..   Vereinfachen können wir diese Gleichung nun, indem wir die Brüche innerhalb der Logarithmen auf 2 Logarithmen aufteilen. Also 6×In2-(weil die 3 im Nenner stand)6×In3-4×In3(und - und - wird +)+4×In2. Im Nenner genau das Gleiche: 3×In3-3×In2-2×In2(und - und - wird wieder +)+2×In3. Diese Terme, die den gleichen Logarithmus enthalten, können wir nun zusammenfassen, dann erhalten wir: (10×In2-10×In3)/(5×In3-5×In2). Jetzt können wir die 5 und die 10 gegeneinander kürzen und mithilfe dieses Logarithmusgesetzes einwenig zusammenfassen. Das können wir jetzt nach diesem Logarithmusgesetz noch einwenig anders schreiben, nämlich so: 2× Logarithmus zur Basis 3/2 von 2/3. Und wenn wir uns daran erinnern, dass die Logarithmusfunktion, die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, dann erkennt man, dass dieser Teil hier -1 ergibt. Die Lösung für x ist also -2. So, jetzt möchte ich euch noch den 2. Weg zeigen, der sehr viel einfacher sein kann, wenn man am Anfang einmal genau hinschaut; es ist nämlich immer gut, wenn man versucht gleiche Basen zu erhalten. Also schreiben wir 3/2 als (2/3)^-1. Auf der linken Seite kann man jetzt die Exponenten miteinander multiplizieren. Es bleibt also: -3x-4. Da die Basen nun die Gleichen sind, können wir ganz einfach die Exponenten gleichsetzen. Und durch einfaches Umformen erhalten wir dann die Lösung x=-2. Also die gleiche Lösung, wie auf dem ersten Weg. Dies ist dann also unsere Lösungsmenge.   So, das war es von mir. Tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    gutes video, teilweise ein bisschen schnell

    Von Daniel2410, vor mehr als 5 Jahren
  2. Schwarz

    Sehr gutes Video.

    Von Hans Hams, vor mehr als 6 Jahren