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Transkript Exponentialfunktionen – Wirkstoffkonzentration (3)

So, wir haben den finalen Teil dieser Aufgabe, Aufgabenteil 5 und 6. Wir haben zu berechnen das Integral von 0 bis 10 von e^-0,02xt und das soll im Sachzusammenhang interpretiert werden. Wie gehen wir da vor? Wir integrieren die Funktion nach dem Hauptsatz, wir wissen ja eine Stammfunktion dieser Funktion, die aus Aufgabe 1 oder Aufgabe 2 ist, mit -50xe^-0,02xt. Und zwar kann man die erste 50 hier weglassen, weil wir das ja nach dem Hauptsatz berechnen werden. Wir werden also zwei Funktionswerte einer Stammfunktion voneinander abziehen, wenn da noch eine 50 davor gestanden hätte, würden wir die 50iger voneinander abziehen, die können wir also hier weglassen. Ich verstehe nicht, warum du da 50 geschrieben hast, da sollte ja eigentlich eine 10 stehen. Gut, das ich dich hab. Da redet man so viel über die 50... Ja, genau. Ich setz das eben ein, da ist nicht viel zu tun, man rechnet das ja sowieso hinterher mit dem Taschenrechner aus. So, dann muss ich hier einmal die 10 einsetzen und dann den Funktionswert bei 0 abziehen, weil hier ein Minuszeichen steht, darf ich hier ein Plus hinschreiben. Übrigens der Fehler, der häufig an der Stelle gemacht wird, ist das man sagt, ja bei 0 ist da ja sowieso alles 0, brauch ich ja nicht einsetzen. Pustekuchen, wenn man hier 0 einsetzt, kommt eben nicht 0 raus. Da kommt 1 raus. Ja, in dem Teil kommt dann 1 raus, da also 50 jetzt ist es schon raus, dass da 1 rauskommt. Wenn das rauskommt, was da reinkommt, dann kommt jemand vorbei, wo er nicht mehr rauskommt. Blöder Spruch gemacht hier.  Was ergibt das denn alles? Ungefähr 9,1 ist das. Nein, 9,1. Gut, das du  mich hast. Was bedeutet das im Sachzusammenhang. Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass wir auf dem Intervall 0 bis 10, also in dem Fall Minuten, einen Medikamentenmengenanstieg haben von 9,1 mg. Man hätte hier auch andere Zahlen natürlich nehmen können, wenn man ein anderes Intervall genommen hätte, dann hätte man den Anstieg der Medikamentenmenge im Körper innerhalb dieses Intervalls ausgerechnet. Das ist die Interpretation davon. Dann brauchen wir das nicht mehr und es geht weiter mit 6. Machst du? Vorlesen! Der Tropf werde nach 5 Stunden abgesetzt. Halbwertszeit des Medikamentenabbaus ist 6 Stunden. Ab wann ist die Medikamentenmenge unter 1 Mikrogramm, 1 Mikrogramm sind also 10^-3 mg. Wir werden natürlich den Zeitpunkt wieder bestimmen und dann sagen, ab diesem Zeitpunkt ist dann die Medikamentenmenge geringer, weil es sich ja wieder um eine fallende Funktion handelt. Dann müssen wir erst mal ausrechnen, wie viel mg des Medikaments im Körper sind, wenn diese 5 Stunden erreicht sind. Und dazu können wir einfach die Funktion m(t) nehmen und für t nicht 5 einsetzen, denn es sind ja 5 Stunden hier. Ja, und wir haben ja das alles in Minuten. Genau, das sind also 300 Minuten. Wir müssen also einfach m(300) ausrechnen und das ist, da brauchen wir wieder diese 50, sonst wäre es ja falsch, nicht wahr, dann mach ich das wieder mit der Klammer, warum nicht, 1-e^-0,02×300. Und es kommt etwas Ungefähres heraus, und zwar 49,876. Es ist auch keine große Überraschung, dass so etwas raus kommt, denn wie wir gesehen haben, steigt die Medikamentenmenge im Körper zur 50 hin und dann ist es hier fast 50. Dann wissen wir, dass die Halbwertszeit 6 Stunden ist und wir müssen jetzt quasi die Abbaufunktion bestimmen. Das kann man einfach so machen, ich leite die Formel kurz her, ist ja kein Problem. Man kann das natürlich auch direkt bestimmen, und zwar hab ich mir hier Folgendes vorgestellt. Diese Abbaufunktion wird eine fallende e-Funktion sein, k soll positiv sein, -k ist dann dementsprechend negativ und das t sollte da eigentlich nicht stehen, das ist zwar die allgemeine Funktion, aber wenn es jetzt um die Halbwertszeit geht, dann muss ich hier die 360 einsetzen, 6 Stunden haben 360 Minuten. Dann passiert Folgendes, wir haben eine Medikamentenmenge im Körper und nach einer gewissen Zeit ist noch die Hälfte davon da und diese Funktion hat bei der Stelle 360 den Funktionswert 1/2. Wir können jetzt durch die Medikamentenmenge teilen, die Halbwertszeit ist ja unabhängig von der Medikamentenmenge, dann kommt das weg, und dann logarithmieren. Das bedeutet, wir haben dann, wenn wir logarithmieren, auf beiden Seiten hier stehen ln(1/2)=-k×360, also teilen wir durch -360 und haben dann ln(1/2)/-360=k und das ist ungefähr gleich 0,0019254. So, und wenn man das hat, geht es noch weiter und dann kommt, dass wir den bestimmten Zeitpunkt ausrechnen müssen, wo dann noch 1 Mikrogramm da ist. 1 Mikrogramm sind  0,001 mg, wir haben das Ganze ja in mg gerechnet, das ist also e^-0,0019254×x × die Medikamentenmenge, die im Körper ist, also 49,876. Das kann man dann auflösen, indem man durch diese 49 teilt. Dann berechnen wir den Logarithmus davon zur Basis e, klar. Ja, ich reiß das jetzt eben hier mal alles runter. Dann kommst du jetzt nicht so viel zu Wort, da kommst du drauf klar, ne? Das ist dann gleich -0,0019254×x. Dann muss man dadurch noch teilen und für x kommt dann was raus, und zwar ungefähr 5618. 5618 sind ungefähr 93,6 Stunden, das sind ja Minuten hier, und ab diesem Zeitpunkt ist dann weniger als 1 Mikrogramm Medikamentenmenge im Körper. Hast du alles verstanden? Hab ich alles verstanden. Alles klar!  

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