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Transkript Exponentialfunktionen – Wirkstoffkonzentration (1)

Also wir haben eine neue Aufgabe, es geht um Exponentialfunktion und wie sooft in diesem Zusammenhang geht es um Medikamente. Also willst du vorlesen oder ich? Ich lese gerne vor. Also ein Tropf führt einem Körper kontinuierlich ein Medikament zu. Am Anfang ist kein Wirkstoff im Körper. Mit Anschluss des Tropfs erhöht sich die Wirkstoffmenge im Körper, gleichzeitig beginnt der Abbauprozess. Die Funktion m von (t) gibt die Medikamentenmenge im Körper an. t in Minuten; m von (t) in Milligramm. 1) Beschreibe die Bedeutung von m´(t) im Sachzusammenhang. Wie ist die erste Aufgabe dazu? Richtig, ja soll ich mal anfangen? Ja, natürlich! Und zwar beschreibt m´ von (t) die Änderungsrate der Medikamentenmenge im Körper. Ja genau. In einem Satz gesagt. Es ist nicht die Medikamentenzufuhr, die sich ändert, die ist ja kontinuierlich, sondern die Medikamentenmenge im Körper ändert sich und die Ableitung gibt dann einfach die Geschwindigkeit dieser Änderung an. Ja, es gibt viele Formulierungen dazu. Momentane Änderungsrate kann man da sagen, oder, ja wie man möchte. Ja das wars schon. Können wir gleich weitermachen mit den nächsten Aufgaben. Ja, ich lese mal vor. 2) Es gelte: m´(t) = e -0,02t. Der Tropf werde zum Zeitpunkt t=0 angeschlossen. Bestimme m von (t) Ja. Da hilft uns jetzt die lineare Subtizuktion. Genau also wir müssen grundsätzlich erst mal integrieren. Weil wir m´ von (t) gegeben haben und wir suchen m von (t). M von (t) ist eine Stammfunktion von m´ von (t). Ja. Gut, wir haben die Funktion da ja gegeben, und zwar können wir dann, ja hier die Stammfunktion bilden indem wir sagen 1: Wenn wir eine Funktion haben, die die Form hat: g von a × x + b. Dann ist das eine lineare Verkettung mit dem gesamten Term a × x + b, der linear ist, wird etwas gemacht. Macht die Funktion g etwas, dann folgt daraus das eine Stammfunktion der Funktion F von X, also groß F von x = 1/a × Stammfunktion. Eine Stammfunktion von G ist. Und man muss jetzt hier natürlich auch wieder begründen, warum man das, indem Bereich zeichnet, einmal hier, weil man eine gewisse Konvergenz sieht. Das ist dann groß G. Und zwar G, groß G von ax + b. Das muss man jetzt verwenden. Gut, wir haben die Funktion da ja gegeben, und zwar können wir dann, ja hier die Stammfunktion bilden indem wir sagen 1: - 0,02 = hier das a von der inneren Funktion. Die steht ja da oben. B ist 0 in unserem Fall hier. Da haben wir ja nichts mehr stehen. Soll ich das aufschreiben? Bitte. Ach so, das muss ich wieder umkehren, weil du... Ich weiß... Deshalb kann man das hier wieder Abschreiben + c kommt, ja erst mal + c vielleicht. Deshalb kann man das hier wieder Abschreiben + c kommt, ja erst mal + c vielleicht. Möchtest du das erklären? Ja ich möchte das erklären. Also normalerweise, wenn man integriert, hat man eine Konstante noch dahinter, die oft auch nicht geschrieben wird, die aber rein mathematisch dazugehört. Hier gehört sie nicht nur rein mathematisch dazu, sondern ist wichtig, denn wir wollen einen konkreten Sachzusammenhang hier modellieren mit dieser Funktion. Und für den Sachzusammenhang gilt, dass der Funktionswert bei t = 0, ebenfalls 0 sein soll. Denn am Anfang ist kein Wirkstoff im Körper. Ja. Deshalb muss also der Funktionswert bei der Stelle t = 0, 0 sein. Ja. Wenn man hierfür t0 einsetzt, haben wir e hoch 0. e hoch 0 ist 1. Das ist 1. 0,02 ist ein 1/50. Ja. Wenn man 1 : -1/50 rechnet. Ist das ja - 50. Wie man ja von den Doppelbrüchen weiß. -50 × 1 = -50, dass bedeutet, wenn wir das so lassen würden, wäre der Funktionswert - 50, das soll nicht der Fall sein, bei t = 0, sondern er muss 0 sein. Also muss man hier noch +50 setzen. Ja und dann kann man das natürlich so stehen lassen. Ich möchte es eben noch andersrum schreiben und zwar möchte ich die 50 ausklammern, nachdem Distributivgesetz. Genau, da habe ich die 50 nach vorne, 50 × 1 = 50 - 50 steht schon da, e hoch - 0,02 t. Das ist dann eine schöne Form der Funkton m von (t). Okay, dann kann man die Funktion noch zeichnen. M von (t) haben wir bestimmt. Ja, m´ von (t) ist ja schon angegeben.  Ich möchte das mal kurz von Hand machen. Das ist so eine typische Funktion sag ich mal die muss man normalerweise jetzt nicht mit ner Wertetabelle machen und so was. Wenn solche Funktionen kommen, dann hat man eigentlich immer auch einen grafikfähigen Taschenrechner dabei. Die Funktion m von (t) möchte ich mal in Blau zeichnen. Sieht ungefähr so aus und hier ist ungefähr 130 oder so, ne? Ja. Wollte ich nur mal so angedeutet haben. Und die andere Funktion, ja die ist sehr klein. Die ist hier unten, hier bei 1. Und man muss jetzt hier natürlich auch wieder begründen, warum man das, indem Bereich zeichnet, einmal hier, weil man eine gewisse Konvergenz sieht. Ja. Das ist hier ungefähr und bei 1 schneidet m´ von (t) die X-Achse. Also das ist eigentlich noch tiefer, als ich es hier gezeigt habe. So verläuft die. Und man muss jetzt hier natürlich auch wieder begründen, warum man das, indem Bereich zeichnet, einmal hier, weil man eine gewisse Konvergenz sieht. Ja, dass die Funktionswerte hier nicht mehr größer, nicht mehr viel größer werden. Also über eine gewisse Marke nicht hinausgehen und hier, ja das tritt so ungefähr bei 130 ein. Ungefähr, ja? Ja. Deshalb in dem Bereich gezeichnet, im negativen Bereich natürlich nicht, weil da die Funktion in diesem Sachzusammenhang keine Aussagekraft hat. Nicht wirklich. Ja. Das wars erst mal dazu, die anderen Aufgaben kommen im nächsten Film. Möchtest du nicht noch den Sachzusammenhang einmal kurz interpretieren. Mach du das doch. Gut. Wie erklärt man das am besten? Bei einer bestimmten Menge, die man dem Körper zuführt, die ist ja kontinuierlich, baut der Körper dann auch umso mehr man im Körper hat, umso ... Umso mehr baut der Körper das Medikament ab. Und deshalb steigt es irgendwann nicht mehr, weil dann die Abbaugeschwindigkeit genauso groß ist wie die Zufuhr des Medikamentes. Das sieht man einmal daran, dass der Funktionsgraph der Funktion m von (t), die die Menge des Medikamentes im Körper angibt, kaum noch steigt und das sieht man auch daran, dass die Ableitung dieser Funktion, diese rote Funktion hier gegen 0 geht. Das heißt, der Anstieg der Medikamentenmenge im Körper geht gegen 0. Das heißt, er bleibt dann irgendwann konstant. Ja. Indem Sachzusammenhang der Interpretation. Ja, richtig dass hatte ich noch überschlagen. Nicht schlimm. Okay

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