Textversion des Videos

Transkript Exponentialfunktionen – Rekonstruktionsbeispiel (1)

Hallo, wir haben Folgendes gegeben. Das ist eine Wertetabelle. Hier oben ist die Einheit 10tel Sekunden, also es wird die Einheit t angegeben in 10tel s. Das hier unten ist die Länge, und zwar die Länge eines solches Luftballons beim Aufblasen. Und nach 10/10s müsste er die Länge 15 cm haben. Ja so groß ungefähr. Diese Tabelle gibt also die Länge des Ballons in Abhängigkeit von der Zeit an. Wir gehen davon aus, dass dieser Tabelle eine Funktion zugrunde liegt. Und zwar eine Funktion der Form: f(t)=c×ek×t. Und diese Funktion ist zu bestimmen. Insbesondere mithilfe der beiden Wertepaare 0 & 7 und 10 & 15. Ja so weit also die Aufgabenstellung. Das ist eine Standardaufgabe. Man muss das machen, was man immer macht. Man setzt einfach diese Wertepaare in dieses Funktionsschema ein und wartet mal, was passiert. Wenn ich also für t 0 einsetze, ist f von t gleich 7. Und das schreibe ich dann auch mal hier hin: 7=c×ek×0. Nun weiß ich, dass k×0 gleich 0 ist. e0 ist 1. Wie alles 10 1 ist. Und deshalb steht hier quasi c. Hier steht c×1, denn e0 ist 1. Also wissen wir, dass c gleich 7 ist. Da sind wir also schnell fertig. Jetzt brauchen wir noch das k. Und das kriegen wir mit dem 2. Wertepaar heraus. Und zwar setze ich für t 10 ein und es kommt 15 heraus. Also kann ich hier schreiben: 15=c und wie groß c ist weiß ich ja schon, also 15=7×ek×10.

Und dann kann ich hier natürlich durch 7 teilen, das sind dann 15/7=ek×10. Diese Gleichung ist eine standardmäßige Expotenzialgleichung. Ich darf auf beiden Seiten logarithmieren. Und zwar zur Basis e natürlich. Also steht dann hier: ln(15/7)=10k. Woher weiß ich das? Wenn ich nämlich ek×10 logarithmiere zur Basis e, also quasi ln rechne, dann bedeutet das, dass ich danach frage, mit welcher Zahl muss ich e potenzieren. Das ist ja der Logarithmus. Der fragt danach, mit welcher Zahl muss ich e potenzieren, damit ek×10 herauskommt. Es ist k×10. Also: ln(15/7)=k×10. Und dann kann ich die ganze Gleichung noch durch 10 teilen und so bekomme ich dann k heraus: k=1/10×ln(15/7). K≈0,076. Jetzt muss man also noch die ganze Funktionsgleichung hinschreiben. Die Funktionsgleichung heißt jetzt: f(t)=7×e0,076×t Das ist also die gesuchte Funktionsgleichung. Natürlich kann man das jetzt noch überprüfen. Man kann 2,5; 5 und 7,5 für t einsetzen, um jetzt herauszufinden, dass man da wirklich richtig gerechnet hat. Es kommen ungefähr diese Werte heraus, die hier unten stehen. Es kann sich ja nur um eine annähernde Richtigkeit handeln. Also diese Funktion kann ja nur so ungefähr diese Wertetabelle erzeugen, weil ja hier in der Regel irrationale Zahlen herauskommen. Auf jeden Fall ist die Funktion hier gefunden mithilfe einer Expotenzialgleichung und ich bin hier fertig. Bis bald, tschüs.

Informationen zum Video