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Exponentialfunktionen – Rekonstruktion

Mit Hilfe von Exponentialfunktionen können Wachstums- sowie Zerfallsprozesse beschrieben werden. Wie man bei gegebenen Informationen eine Exponentialfunktion aufstellen kann, ist Thema der Rekonstruktion.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist eine Exponentialfunktion?

Das Besondere bei Exponentialfunktionen ist, dass die unabhängige Größe, die Variable, im Exponenten steht. Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form

$f(x)=c\cdot a^x$.

Dabei sind

  • $x$ die Variable,
  • $a\in \mathbb{R}^+$ die Basis der Exponentialfunktion und
  • $c\in \mathbb{R}$ eine Konstante. Diese steht für den Anfangswert bei exponentiellen Prozessen.

Üblicherweise schreibt man Exponentialfunktionen mit der Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl.

Wie dies bei allgemeiner Basis $a$ gemacht wird - wie also zwischen der allgemeinen Darstellung und der natürlichen Exponentialfunktion gewechselt wird -, siehst du hier:

$f(x)=c\cdot a^x=c\cdot e^{\ln(a^x)}$.

Dabei haben wir $e^{\ln(x)}=x$ verwendet sowie die Rechenregel für Logarithmen: $\log(p^{q})=q\cdot \log( p)$. Diese Regel gilt für jeden Logarithmus, unabhängig von der Basis. Damit ist

$f(x)=c\cdot e^{\ln(a^x)}=c\cdot e^{\ln(a)\cdot x}$.

Die natürliche Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion mit der Basis $e$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet, zum Beispiel $f(x)=e^{x}$. Etwas allgemeiner kann eine natürliche Exponentialfunktion so aussehen:

$f(x)=c\cdot e^{kx}$.

Dabei sind

  • $x$ die Variable (häufig wird die Zeit für $x$ eingesetzt, dann wird auch die Variable $t$ für „time“ verwendet),
  • $e$ die Euler'sche Zahl und
  • $c$ sowie $k$ Parameter.

Rekonstruktion von Exponentialfunktionen

Da eine natürliche Exponentialfunktion zwei Parameter $c$ und $k$ hat, benötigst du auch zwei Informationen, um eine solche Funktion zu rekonstruieren.

Was bedeutet eigentlich rekonstruieren?

  • Du weißt, was eine Kurvendiskussion ist: Bei einer gegebenen Funktionsgleichung bestimmst du verschiedene Stellen oder Punkte: Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Schließlich kannst du den Funktionsgraphen der Funktion zeichnen.
  • Umgekehrt kennst du solche Stellen oder Punkte und sollst daraus die Funktionsgleichung wiederherstellen, das bedeutet rekonstruieren.

Beispiel 1

Wenn du im Rahmen eines Wachstumsprozesses eine Wertetabelle vorliegen hast, genügen zwei Paare $(x|f(x))$, um die zugehörige Funktionsgleichung zu ermitteln. Schaue dir hierfür das folgende Beispiel an:

Seerose.jpg

Eine Seerosenkultur bedeckt nach zwei Wochen $9~m^2$ eines Sees und nach weiteren zwei Wochen $20,25~m^2$. 
Das Wachstum der Fläche ist exponentiell:

$f(x)=c\cdot e^{kx}$.

Dabei steht

  • $x$ für die Zeit in Wochen und
  • $f(x)$ für die von Seerosen bedeckte Fläche nach $x$ Wochen.

Die beiden bekannten Flächen nach $2$ beziehungsweise $4$ Wochen führen zu den Gleichungen

  • $f(2)=9$ und damit $c\cdot e^{k\cdot 2}=9$ sowie
  • $f(4)=20,25$ und damit $c\cdot e^{k\cdot 4}=20,25$.

Wenn du die erste Gleichung durch $e^{k\cdot 2}$ dividierst, erhältst du

$c=\frac9{e^{k\cdot 2}}$.

Dieses $c$ setzt du nun in die zweite Gleichung ein:

$\frac9{e^{k\cdot 2}}\cdot e^{k\cdot 4}=9\cdot e^{k\cdot 2}=20,25$.

Division durch $9$ führt zu $e^{k\cdot 2}=2,25$. Nun kann kannst du den Logarithmus naturalis auf beiden Seiten anwenden: $k\cdot 2=\ln(2,25)$. Zuletzt dividierst du durch $2$. Dies führt zu $k\approx 0,405$.

Nun kannst du auch $c$ berechnen:

$c=\frac9{e^{k\cdot 2}}=\frac9{2,25}=4$.

Damit lautet die Exponentialfunktion, die das Wachstum der Seerosenkultur beschreibt:

$f(x)=4\cdot e^{0,405\cdot x}$.

1051_Seerosen_Funktionsgraph.jpg

Hier siehst du den zugehörigen Funktionsgraphen.

Insbesondere weißt du jetzt auch, dass zu Beginn der Beobachtung die Seerosenkultur $4~m^2$ eines Sees bedeckt.

Beispiel 2

Wenn du bei einer Exponentialfunktion

$f(x)=c\cdot e^{kx}$

einen Punkt, zum Beispiel $P(3|1)$, sowie die Steigung $m=0,5$ in diesem Punkt kennst, kannst du die Funktionsgleichung ebenfalls rekonstruieren.

  • Der gegebene Punkt führt zu der Gleichung $f(3)=1$ und somit $c\cdot e^{k\cdot 3}=1$.
  • Die Ableitung der Funktion $f(x)$ ist gegeben durch $f'(x)=c\cdot k\cdot e^{kx}$.
  • Da die Ableitung an der Stelle $x=3$ gegeben ist durch $m=0,5$, führt dies zu der Gleichung $c\cdot k\cdot e^{k\cdot 3}=0,5$.

Nun kannst du $c\cdot e^{k\cdot 3}=1$ in der unteren Gleichung einsetzen. So erhältst du $k\cdot 1=0,5$. Also ist $k=0,5$.

Dieses $k$ kannst du nun in der oberen Gleichung einsetzen, um $c$ zu berechnen: $c\cdot e^{0,5\cdot 3}=1$. Division durch $e^{0,5\cdot 3}$ führt zu $c\approx 0,223$.

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit

$f(x)=0,223\cdot e^{0,5x}$.

Dies ist der zugehörige Funktionsgraph.

1051_Exp.fkt_Bsp_2.jpg

Beispiel 3

Bei einem Wachstumsprozess ist der Anfangswert $c=22$ bekannt sowie die Verdoppelungszeit $T_2=5$ [Tage]. Du weißt damit, dass $f(5)=44$ ist. Setzt du $c=22$ in der Exponentialfunktion

$f(x)=22\cdot e^{kx}$.

ein, erhältst du die Gleichung $f(5)=22\cdot e^{k\cdot 5}=44$. Nun kannst du durch $22$ dividieren und dann den Logarithmus naturalis anwenden: Dies führt zu $k\cdot 5=\ln(2)$. Zuletzt dividierst du durch $5$. Also ist:

$k=\frac{\ln(2)}5\approx 0,139$.

Damit ist die Funktionsgleichung gefunden:

$f(x)=22\cdot e^{0,139\cdot x}$.

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