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Transkript Exponentialfunktionen – Rekonstruktion aus Wertetabelle (1)

Hallo. Wir sind weiter beim Ballon aufpusten. Wir haben hier eine Wertetabelle. Ich mache das jetzt nicht vor, einen Ballon aufzupusten, du weißt, wie das geht. Hier ist eine Wertetabelle, die beschreibt den zeitlichen Verlauf der Volumenentwicklung eines solchen Ballons beim Aufblasen. Hier oben steht, und da auch, steht die Zeit t in Sekunden, s, die Einheit ist also s für Sekunde. Und hier unten steht das Volumen. V gemessen in cm³. Am Anfang gehen wir mal davon aus, ist der Ballon flach. Hier, der hat überhaupt kein Volumen, nehmen wir mal an. Und nach der 1. Sekunde hat der Ballon ein Volumen von 2100 cm³. Naja, und so weiter. Das bedeutet die Tabelle hier auf jeden Fall. Die Aufgabe besteht nun darin, mithilfe dieser Tabelle eine Funktionsgleichung zu bestimmen, die das Volumen, in Abhängigkeit von der Zeit, wiedergibt. Diese Funktion soll folgender Art sein: Sie soll die Form haben h(t)=a×(1-e^-b×t). Das ist die Frage. Und insbesondere ist hier zu verwenden der Funktionswert bei 2 oder der Wert hier in der Tabelle, es ist ja noch kein Funktionswert, und der Wert bei 4 Sekunden. Bei 2 und 4, das sind die Werte, die wir verwenden sollen. Ja, wie macht man das? Wie du das gewohnt bist, man setzt einfach die Werte für t und die Werte für h(t), also die Funktionswerte, die setzt man hier in diese Gleichung ein. Und das habe ich schon mal heimlich vorbereitet, das sieht dann so aus. Wenn ich für t in diese Funktionsgleichung hier 2 einsetze, dann hat die Funktion den Wert 3107,5. Wenn ich für t den Wert 4 einsetze, dann hat die Funktion den Wert 3800 und das sind 2 Gleichungen mit 2 Variablen, und dann würde ich mal sagen, die Chance, dass wir das lösen können, die ist doch ziemlich groß. Dann möchte ich mich mal hier an das Lösen begeben und da passiert nun Folgendes: Da hier das a schon, einfach mal so fast alleine rumsteht, nur noch einen Faktor dahinter hat, möchte ich diese beiden Gleichungen hier nach a auflösen und dann die entstandenen linken Seiten in dem Fall wird es sein, untereinander gleichsetzen. Das ist hier quasi das Gleichsetzungsverfahren für Fortgeschrittene. Dazu muss ich hier die 1. Gleichung einfach durch die Klammer teilen. Ja, da braucht man sich nicht verrückt machen lassen von dem Term, der da in der Klammer steht, mit dem e hoch Dingsbums. Man teilt einfach durch die Klammer, das ist ein ganz normaler Faktor und fertig ist die Sache. So, heraus kommt also a=3107,5/1-e^-b×2. Wenn ich die 2. Gleichung durch die Klammer teile, ist das auch gleich a und ich möchte jetzt hier beide schon mal direkt gleichsetzen. Dann steht hier also 3800/1-e^-b×4. Das ist beides gleich a, schreibe ich hier am Ende noch hin, damit du den Überblick hast, wo das Ganze herkommt. In dieser Gleichung, wenn wir das mal hier wegnehmen, ist nur noch b die Unbekannte. Ja, und was macht man da? Hier braucht man jetzt eine Idee, da muss man einfach was sehen. Und um dir die Gelegenheit dafür zugeben, hier mal drüber nachzudenken, wo jetzt die Idee herkommen kann, sodass man hier schnell weiter rechnen kann, deshalb möchte ich den ganzen Rest im 2. Teil zeigen. Bis dahin viel Spaß beim Überlegen. Tschüss.

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