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Transkript Exponentialfunktionen – Rekonstruktion allgemein (2)

Es geht wieder um einen exponentiellen Wachstums- oder Zerfallsprozess, der durch eine solche Funktion oder eben eine solche Funktion dargestellt werden kann. Und es ist die Funktion gesucht, die ist nicht gegeben in einer typischen Aufgabe dazu, sondern es sind 2 Punkte des Graphen gegeben. Und den Fall können wir jetzt allgemein behandeln. Also ich habe schon Sachen dazu gemacht für die Mittelstufe. Da habe ich konkrete Werte gehabt und jetzt machen wir beide das ganz allgemein ohne konkrete Zahlen. Wir haben also irgendeinen Zeitpunkt t1. Das soll völlig beliebig sein und den Funktionswert zu diesem Zeitpunkt t1 und wir haben einen weiteren Punkt des Graphen, nämlich der die Koordinaten t2 hat. Also die eine Koordinate ist t2, die andere ist f(t2) und das ist also die ganz allgemeine Situation. Und weil mir das jetzt auf die Nerven geht, das hier immer f(t1) zu schreiben, werde ich das jetzt y1 nennen und das andere dann y2. Das ist ein y1 und das ist ein y2. Ja, was kann man jetzt machen, um die Funktion rauszufinden? Also, was wir suchen, ist c und k hier, und da suchen wir c und a. Ja dadurch, dass wir so gesagt 2 Punkte haben, können wir uns 2 Funktionen bauen, sage ich mal salopp. 2 Gleichungen. Wir suchen ja nur eine Funktion. Ja, aber wir haben nachher 2 Gleichungen, die wir zu einer Funktion. Ja, da kriegen wir das noch raus, genau. Ja, fangen wir mit dem 1. Punkt an, und zwar haben wir ja dann y1=c×ek×t1 und die 2. Gleichung ist dann y2=c×ek×t2. Und dann? Könnten wir zum Beispiel in der 1. Gleichung, die nach c auflösen, zum Beispiel, und c in die 2. Gleichung einsetzen. Richtig! Als Vorschlag. Ja, was muss ich machen, durch das Ganze teilen, was dahinter ist, nicht? Da bleibt das Ziel auf der Seite übrig. Genau. Also geteilt durch ek×t1 und dann habe ich hier y1/ek×t1=c. Und jetzt geht es hier weiter. Da kann man dieses c in die 2. Gleichung einsetzen und erhält y2=y1/ek×t1 mal das Ganze, was danach kommt: ×ek×t2. Und jetzt? Ich würde ja, also ich persönlich habe das mal ganz gerne, wenn man das mit einem kleinen Bruch hier stehen hat, und hole dieses Ganze in den Zähler. Mache ich immer gerne. Mit dem negativen Exponenten dann? Genau. Das heißt, wir haben y1, ich schreibe nur die rechte Seite auf, von dir aus gesehen, y1×e-k×t1×ek×t2 und dann kann man zusammenfassen, nicht? Es gibt diese freundliche Formel aus der Potenzrechnung, an die man sich erinnern sollte, wenn es geht. Und zwar, die, was darüber aussagt, was passiert, wenn man 2 Potenzen gleicher Basis multipliziert. Dann? Ja, y1×e^, und jetzt ziehe ich das nach vorne, und das dahinter und dann haben wir k×t2-k×t1. Und jetzt? Ausrechnen. Wir suchen noch k. Wir haben y2 gleich das hier. Also ausrechnen heißt jetzt hier nach k auflösen. Ja, ein bisschen missverständlich ausgedrückt, aber ja. Ja, ich muss da drauf achten. Also Gleichungen rechnet man nicht aus. Man kann Terme ausrechnen und Terme sind keine Gleichungen und ich weiß, dass es normalerweise so gesagt wird, aber korrekt ist es anders. Ja, was kann man tun? y2 bleibt da, das ist klar, das ist weiter die linke Seite. Ich könnte jetzt schon mal durch y1 teilen. So, by the way. Und was können wir da oben machen? Das Distributivgesetz! Ja. Das heißt, ich kann schon mal k ausklammern. ek(t2-t1) muss ich weiter rechnen. Und dann? Nach k auflösen, immer noch. Ja, was denn genau? Was muss ich machen? Also ich würde das dann wieder mit ln machen. Nee, gut. Ok. Also die ganze Gleichung logarithmieren. Das ist der Strich, der das abteilt. Das heißt, wir haben dann hier ln(y2/y1) und da kommt ja dieser Spruch wieder: Wenn, wir jetzt ek×Dingsbums logarithmieren, suchen wir bei dem Logarithmus zur Basis e die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um e^ diesen Exponent zu erhalten. Und das ist dann dieser Exponent. Und somit wäre das e. Genau! Ja, das darf man ja jetzt auch so nicht sagen, aber. Es fällt ja nicht weg, es kommt ja nicht in den Mülleimer oder so. Aber man sieht es nicht mehr erst mal. Also gut, es ist auf jeden Fall nicht mehr da. Richtig. Und jetzt könnten wir dadurch teilen. Ja genau. Das ist ja jetzt eine ganz normale lineare Gleichung geworden, nicht? Das ist ja eine ganz normale Zahl, wie du und ich. Das auch und das auch und, wenn wir jetzt hier stehen hätten, was weiß ich, 15=x×3, dann würde man durch die 3 teilen. Also, es sieht komplizierter aus, ist es aber nicht. Das heißt, wir müssen jetzt einfach nur noch durch diese Zahl hier teilen. Also geteilt durch t2-t1. Und das ist dann k. Wenn man jetzt das ausrechnen möchte, dann müssen wir das jetzt nicht mehr allgemein zeigen, oder? Wie kann man jetzt, wenn man k hat, auf a schließen? ek. Ja, ist das Gleiche, wie a. Manchmal kommt das ja vor, dass man diese und diese Version angeben soll. Wenn man das a schon hat, und möchte das k bestimmen, dann gilt ja, dass ln(a)=k ist und dann hat man halt diese Version auch sofort.
Dann sind wir jetzt fertig.

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