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Transkript Exponentialfunktionen – Radioaktiver Zerfall

Hallo, wir haben, bzw. zum Glück haben wir nicht, wir hatten eine Atomkraftwerkkatastrophe in Tschernobyl, und zwar am 26. April 1986. Tschernobyl ist der Ort, wo das steht. Und um das mal ganz grob zu umreißen, das Atomkraftwerk ist kaputt gegangen und da ist radioaktive Strahlung frei geworden. Und unter anderem strahlt immer noch das Material Cäsium 137. Ich schreibe  die 137 jetzt mal hieran, manchmal steht sie auch da oben. Das ist auch egal und soll uns nicht weiter stören. Ich sag auch nicht weiter was dazu, was das für ein Material ist, was das für ein Isotop ist. Das können Physiker auch besser als ich und dann sollen die das bitte machen. Die Halbwertszeit dieses Cäsiums 137 ist ca. 30 Jahre. Und jetzt ergibt sich natürlich die Frage: wie viel dieses Cäsiums ist heute noch da? Also wie hoch ist die Strahlung immer noch? Und zum Beispiel könnte man fragen, wie lange dauert es, bis nur noch 1/10 der Strahlung vorhanden ist. Um die Sache hier zu modellieren, können wir einfach mal davon ausgehen, dass wir eine ganz normale Expotenzialfunktion haben, die einen Funktionsterm hat der Form: b×ax = b × ax. Aber wenn wir jetzt 30 Jahre weiter gehen, dann ist nur noch die Hälfte der Strahlung vorhanden, also: 1/2b×ax = b × a^ (x+30). Ja das ist dann quasi die Gleichung, die man immer bekommt.

Und ich kann jetzt hier die Potenzrechnung anwenden, dann steht da: 1/2b×ax= b×ax×a30. Dann denke ich mir den Mittelteil weg, erhalte also diese beiden Seiten der Gleichung. Ich kann beide Seiten durch b teilen, ich kann beide Seiten durch ax teilen und erhalte letzten Endes: 1/2 = a30. Und dann muss ich die gesamte Gleichung mit 30 potenzieren und erhalte dann: (1/2)1/30=a. Wenn du öfters mit Halbwertszeiten rechnest und das a suchst, dann wird dir das auch auffallen. Wenn die Halbwertszeit 100 ist, zum Beispiel, 100 Jahre, dann kannst du gleich hinschreiben 1/21/100 =a. Aber das kriegst du noch mit, wenn du das bisher noch nicht so siehst. Allerdings ist wichtig, dass du weist, wie du darauf kommst. Einfach nur irgendwelche Regeln auswendig lernen ist auch doof. Dann, da wir jetzt das a haben..., ich gebe keinen Näherungswert an, warum auch? Wir wollen wissen, wie viel Strahlung ist heute noch vorhanden?

Und dann werde ich das mal so nennen, s, die Strahlung von heute, die berechnet sich jetzt so, dass wir einfach -... Also der wievielte Teil der Strahlung ist natürlich noch da. Ich hab nix darüber gesagt, über dieses b, denn ich weiß es nicht. Ich hab nicht nachgeguckt, wie viel Strahlung vorhanden war. Ich weiß auch gar nicht, ob man da so verlässliche Zahlen bekommt. Also wir wollen wissen, der wievielte Teil der Strahlung noch da ist. Wir nehmen an, dass b=1 ist, also am 26. April 1986 war die ganze Strahlung da und heute ist eben nur noch ein Teil da, deshalb ist b=1. Und wir müssen einfach rechnen: a^ die Zeit, die vergangen ist. a = (1/21/30). Und dass müssen wir potenzieren mit der Zeit in Jahren, die bisher vergangen sind. Das sind 23,3. Da sag ich jetzt nicht, wie ich drauf gekommen bin, das weißt du selber. Also: a = (1/21/30)23,3. So und dann kann man das in den Taschenrechner eintippen, ja auch das würde ich nicht im Kopf rechnen, und es kommt ungefähr 0,58 heraus. Das heißt so ca. 58% der Strahlung ist heute noch da. Wenn wir jetzt wissen wollen, wie lange es dauert, bis nur noch 1/10 der Strahlung vorhanden ist, also nur noch 10% da ist, dann können wir das einfach mal so aufschreiben: 1/10 ist ja 0,1. Ich hätte auch 1/10 schreiben können, ist aber völlig egal. Und wir wollen jetzt wissen, mit welcher Zahl muss man (1/2)1/30 potenzieren, damit 0,1 heraus kommt. Und man kann jetzt hier auf beiden Seiten logarithmieren. Ich sag mal den Logarithmus zur Basis 10, lg geschrieben, lg 0,1 = lg (((1/2(^1/30)x). Und da darf man die Logarithmusgesetze anwenden, das ist dann nämlich gleich lg 0,1= x×lg ((1/2)1/30). Und jetzt muss ich nur noch durch lg (1/2)1/30 teilen, und habe dann das x alleine stehen. also lg 0,1 ÷ (0,50,0333) = die Zeit, die gebraucht wird, bis nur noch 1/10 der Strahlung vorhanden ist. Und ich hab das vorhin schon mal heimlich ausgerechnet. Das ist ca. 99,658. Also ca. 100 Jahre. Cäsium137 braucht 100 ca. Jahre bis nur noch 1/10 de Strahlung da ist. Ja, das ist die gesamte Rechnung dazu. Viel Spaß damit. Tschüs

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