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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=xe^x (4)

Hallo. Es kommt der letzte Teil der Kurvendiskussion unserer kleinen Funktion hier f(x)=x×ex. Wir brauchen noch das Verhalten im Unendlichen, den Graphen und dann, falls du das machst oder wissen möchtest, die Monotonie. Verhalten im Unendlichen. Wir müssen uns angucken, was passiert, wenn x zum Beispiel gegen +∞ geht. Was machen dann die Funktionswerte? Wir haben den einen Faktor, der ist x. Wenn also x gegen ∞ geht, geht x gegen ∞. ex geht gegen ∞ oder +∞ genauer gesagt. Falls x gegen +∞ geht. Das bedeutet, dass das Produkt zweier Terme, die gegen +∞ gehen, auch gegen +∞ geht. Daher können wir schreiben, dass dann f(x), also unter der Voraussetzung, dass x gegen +∞ geht, auch gegen +∞ geht. Was passiert für x gegen -∞? Da müssen wir uns Folgendes überlegen. Wenn x gegen -∞ geht, haben wir hier einen Term, also einen Faktor x, der geht dann gegen -∞, wenn x gegen -∞ geht. Und ex geht gegen 0. Weil, wenn wir jetzt e^-100 haben, dann ist das ja gleich 1÷e100. Und 1÷e100 ist eben eine Zahl, die sehr nahe bei 0 ist.  So, was passiert dann damit? Wir haben ein mal dieses x und wir haben ex. Das x geht dann gegen -∞, wenn x gegen -∞ geht. Und ex geht gegen 0, wenn x gegen -∞ geht. Das Produkt der beiden geht gegen 0. Warum das? Eine e-Funktion, eine Exponentialfunktion, geht wesentlich schneller gegen 0, als bei x oder auch eine Potenzfunktion oder auch eine ganzrationale Funktion. Das bedeutet, wenn wir ein Produkt haben aus einer Funktion, die jetzt zum Beispiel x ist oder eine ganzrationale Funktion, was gegen + oder - ∞ geht und der andere Faktor ist eine Exponentialfunktion, die gegen 0 geht, dann geht das Produkt gegen 0. Und zwar dahin, wo die Exponentialfunktion hingeht. Das benutze ich hier jetzt ohne weiteren Beweis, ich hoffe, du hast das mal irgendwie begründet bekommen, dass das so ist. Da das also so ist, geht f(x) gegen 0, falls x gegen -∞ geht. So und nachdem wir das jetzt alles geklärt haben, kommt noch der Graph. Und den möchte ich hier nur mal kurz andeuten, um einfach zu sagen, was man da sehen kann, warum man diese Kurvendiskussion ja letzten Endes auch gemacht hat. Wir haben keine Symmetrie, wir haben einen Schnittpunkt mit der x-Achse, der an demselben Schnittpunkt ist, wo auch der Schnittpunkt mit der y-Achse ist, nämlich bei (0|0). Wir haben ein Minimum bei -1, also hier ungefähr. Das heißt, wir haben hier eine Krümmung, wir wissen, für x gegen +∞ geht die Funktion gegen +∞. Wir wissen, die Funktion geht gegen 0, falls x gegen -∞ geht. Und wir wissen, dass es einen Wendepunkt gibt bei -2. Also geht hier die Kurve weiter rum und da ist der Wendepunkt, das heißt, das geht dann ungefähr so. Hier ist der Wendepunkt, da geht es von dieser Krümmung in die andere Krümmung über. So, habe ich alles verwendet? Wendepunkt, Verhalten im Unendlichen, Extrempunkte, Achsenschnittpunkte, habe ich alles verwendet. Und so ungefähr sieht der Graph dann auch aus. Ja, wenn man diese Kurvendiskussion gemacht hat, dann kann man ziemlich gut sagen, wie der Graph aussieht. Dann komme ich noch zur Monotonie. Wird nicht immer gemacht, möchte ich aber hier trotzdem mal zeigen. Dabei geht es darum, erst mal, an welcher Stelle ist denn die 1. Ableitung gleich 0 oder an welchen Stellen? Hier wissen wir das schon, wir haben die 1. Ableitung, die ist ex×(1+x). Und die wollen wir gleich 0 setzen bzw. wir haben uns gefragt, wo ist die gleich 0. Und dann ist uns aufgefallen, das ist bei x=1. Nun gilt, wenn die 1. Ableitung positiv ist, ist die Ausgangsfunktion streng monoton steigend. Wenn die 1. Ableitung negativ ist, ist die Ausgangsfunktion streng monoton fallend. Wir müssen uns also nur angucken, wie groß die Werte der 1. Ableitung, links von -1 und wie groß die Werte rechts von -1 sind. Da wir keine weiteren Nullstellen der 1. Ableitung haben, sind links von dieser Nullstelle alle Werte der Ableitung entweder > oder < 0. Und deshalb reicht es, einfach irgendeinen Wert, der sich links von -1 befindet, in die 1. Ableitung einzusetzen, um zu gucken, ob die Ableitung dort größer oder kleiner als 0 ist. Denn wenn sie zum Beispiel kleiner als 0 sein sollte, was hier dann der Fall sein wird, dann ist sie überall links von -1 kleiner als 0. Also dann setze ich einfach mal -2 in die 1. Ableitung ein und das bedeutet dann, wir haben e^-2×(1-2). Und da können wir gleich sehen, ob das größer oder kleiner als 0 ist. 1-2=-1. e^-2 haben wir schon besprochen, ist positiv. Etwas Positives mal etwas Negatives ist negativ, das heißt, das Ganze ist dann kleiner als 0 und daher ist also die 1. Ableitung kleiner als 0 für alle x-Werte, die kleiner als -1 sind. Dann müssen wir gucken, was ist rechts von -1. Und da können wir auch irgendeine Zahl nehmen, die sich rechts von -1 befindet und sie in die 1. Ableitung einsetzen. Ich entscheide mich für die 0, ja, da muss ich vielleicht wenig rechnen oder so. Also, e0×(1+0). Ja, e0 ist ja 1, wenn ich 1×1 rechne, das kann ich im Kopf, das ist 1. Und das ist größer als 0. Von daher wissen wir, dass die 1. Ableitung größer als 0 ist für alle x-Werte, die größer als -1 sind, was letzten Endes bedeutet, dass diese Funktion streng monoton fallend ist. Fallend oder man kann auch sagen streng monoton fallend auf dem Intervall -∞ bis -1 und sie ist steigend auf dem Intervall von -1 bis +∞. Ich habe jeweils das offene Intervall genommen, das heißt, hier muss ich es sowieso schreiben, weil -∞ und +∞ keine Zahlen sind, das kann nicht abgeschlossen sein. Aber auch hier ist die Grenze -1. Muss sich ja nicht im Intervall befinden, deshalb hier das offene Intervall. Das war es zur Kurvendiskussion, viel Spaß damit, tschüss.              

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