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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=xe^x (3)

Hallo, wir machen weiter mit der Kurvendiskussion einer e-Funktion. Wir haben hier f(x)=x×ex und wir haben schon den Definitionsbereich, der steht hier nicht, die Symmetrie und die Achsenschnittpunkte. Jetzt kommen wir zu den Extrempunkten und Wendenpunkten. Das machen wir mit den Ableitungen. Hier sind schon die Ableitungen, das haben wir auch schon fertig. Und dann geht es los mit der notwendigen Bedingung für Extrempunkte, die lautet f'(x)=0. Notwendige Bedingung heißt, nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann die Funktion ein Extremum haben, also einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt haben. Das heißt nicht, das, wenn diese Bedingung erfüllt ist, dass dann die Funktion auch einen Hoch- oder Tiefpunkt haben muss. So. Ich muss die 1. Ableitung = 0 setzen. Die 1. Ableitung ist: ex×(1+x). Für welche x ist dieser Term = 0?

Das muss ich auch noch hinschreiben. So, es handelt sich bei diesem Term hier um ein Produkt. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist. Der eine Faktor ist ex, der wird sowieso nicht 0, darf man hier einfach verwenden, muss man nicht weiter nachweisen. Dann geht es hier also nur noch darum, wann ist der zweite Faktor 0? Das heißt, welche x kann man einsetzen, so das der 2. Faktor = 0 ist. Und das ist dann der Fall, das forme ich jetzt nicht weiter großartig um, ich glaub, das siehst du so, das ist dann der Fall, wenn x=-1 ist. Dann geht es weiter mit der hinreichenden Bedingung. Die besteht, ich darf doch mal sagen, aus 2 Teilen, nämlich f'(x)=0 und f''(x) ist ungleich 0. Gemeint ist immer ein bestimmtes x, also hier eine bestimmte Nullstelle der 1. Ableitung. Die wird hier in die 2. Ableitung eingesetzt, und wenn dann die 2. Ableitung ungleich 0 ist, dann wissen wir, dass sich an dieser Stelle, bei diesem bestimmten x, ein Extremum befindet. Das heißt aber nicht, das, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, das dann die Funktion dort kein Extremum hat. Es kann auch sein, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist und die Funktion dort trotzdem ein Extremum hat. Das wird oft missverstanden, falsch interpretiert, sonst was, deshalb sag ich es hier noch einmal in aller Deutlichkeit. Was uns jetzt noch zu tun übrig bleibt, ist zu gucken, was ist der Funktionswert von f'' an der Stelle x=-1. Das heißt, ich muss -1 hier in die 2. Ableitung einsetzen. Die 2. Ableitung ist e^-1×(2+(-1)) und das ist 2-1 ist 1. Wir wissen, dass e hoch irgendetwas niemals 0 ist und daher können wir schreiben, dass das ungleich 0 ist. Damit ist die hinreichende Bedingung erfüllt und die Funktion hat ein Extremum, das heißt einen Hoch- oder Tiefpunkt. Wir können hier mit der 2. Ableitung auch feststellen, ob es ein Maximum oder ein Minimum bzw. ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Wenn nämlich die 2. Ableitung an der Nullstelle der 1. Ableitung positiv ist, dann handelt es sich um ein Minimum. Wenn die 2. Ableitung negativ ist, handelt es sich um ein Maximum. Und hier können wir bemerken, dieser Term ist größer als 0, denn e^-1 ist größer als 0, das ist einfach 1/e, das ist größer als 0, deshalb befindet sich bei x=-1 ein Minimum. Dann können wir noch den Funktionswert an der Stelle angeben. Wir müssen jetzt also diese gefundene Stelle hier in die Ausgangsfunktion einsetzen, also einfach f(-1) berechnen und das ist, ja ich muss für x -1 einsetzen: -1×e^-1, das ist -1/e, also so ungefähr -1/2,7. Kannst du selber ausrechnen, mir reicht der Wert hier so, das ist auch die Angabe des y-Wertes des Tiefpunktes. Das heißt, du kannst einfach hinschreiben TP für Tiefpunkt ist bei -1 und -1/e. Dann kommen wir zu den Wendepunkten. Ja da geht das ähnlich weiter, ich glaube das brauch ich jetzt nicht mehr. Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die 2. Ableitung = 0 ist. Und in unserem Fall ist das so, wenn diese 2. Ableitung hier = 0 ist. Ich nehme den Term, diesen Ausgeklammerten. Das bedeutet ex×(2+x) soll = 0 sein. Dann kommt wieder die Argumentation: wir haben ein Produkt hier stehen, ein Produkt ist nur dann 0, wenn ein Faktor 0 ist. ex ist nicht 0, deshalb konzentrieren wir uns auf den Faktor 2+x. Dieser Faktor ist = 0, wenn x=-2 ist. Dann müssen wir die hinreichende Bedingung bemühen. Ich mach jetzt hier die hinreichende Bedingung mit der 3. Ableitung, das geht natürlich auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium, aber wenn die 3. Ableitung sich so einfach finden lässt, dann ist das ganz praktisch hier diese 3. Ableitung zu verwenden. So, das heißt, ich muss jetzt diese gefundene Stelle, nämlich x=-2, in die 3. Ableitung einsetzen und schauen, ob die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Die 3. Ableitung ist, ich nehm den Term da ganz hinten, ich verschmiere gerade die andere Tafel, macht nichts, also ex×(3+x) und für x möchte ich ja jetzt -2 einsetzen, also e^-2×(3-2), kann ich gleich so hinschreiben, 3-2 ist ja 1, e^-2 ist ja 1/e², also 1/e² ist positiv und es ist nicht 0 und deshalb haben wir bei x=-2 einen Wendepunkt und dann müssen wir -2 noch in die Ausgangsfunktion einsetzen. Das heißt f(-2) ausrechnen, um den y-Wert des Wendepunktes zu finden und der ist dann bei -2×e^-2, das kann man auch umschreiben zu -2/e². Ja, negative Exponenten und so kennst du ja, erklär ich jetzt nicht weiter, wie ich hier drauf gekommen bin, hab ich in dem Zusammenhang gerade auch schon ein bisschen erklärt, deshalb kann man einfach jetzt hier hinschreiben, ja falls dir das nicht klar sein sollte, guck dir das bitte noch einmal an, mit dem negativen Exponenten, gibts viele Filme zu. Ich schreib das hier jetzt einfach hin, Wendepunkt ist bei -2 und -2/e². Wenn du einen Näherungswert angeben möchtest, mit Hilfe deines Taschenrechners, kannst du das gerne tun, ich mach das hier nicht, mir reicht das so. Und damit sind die Wendepunkte gefunden, bzw. der Wendepunkt, es ist ja nur ein einziger. Im nächsten Teil geht es dann weiter mit dem Verhalten im Unendlichen und dem Graph und der Monotonie. Viel Spaß damit, bis dann, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Anna B:
    e^1 ist ungefähr + 2,718... und heißt Euler´sche Zahl. Du kannst das leicht mit deinem Taschenrechner überprüfen.
    Sie ist positiv.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  2. Img 0063

    Wie schaut es denn aus ist e^1 auch positiv oder negativ?

    Von Anna B., vor fast 3 Jahren