Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=xe^(-x^2) (4)

Hallo! Nachdem wir uns in einem etwas längeren Film damit beschäftigt haben, wo die Extremstellen und wo die Wendepunkte sind, dieser Funktion hier x×e^-x2, kommen wir jetzt zum Verhalten im Unendlichen bzw. für betragsmäßig große x-Werte, oder Globalverhalten sagt man auch, und das hat auch was mit den Asymptoten zu tun. Also dann, wir müssen einfach wissen was passiert, wenn wir sehr große und sehr kleine x-Werte einsetzen, geht dann die Funktion gegen einen bestimmten Wert, also gegen die konvergierenden Funktionswerte zu einem bestimmten Wert oder geht die Funktion gegen + oder -∞. Wir können uns Folgendes vorstellen, wir haben x×e^-x2, wenn x gegen +∞ geht, dann geht x gegen +∞. Das ist nicht weiter interessent, aber die Frage ist wo geht e^-x2 hin. x2 gegen +∞, wenn x gegen +∞ geht. -x2 geht dann gegen -∞. Und wenn wir etwas rechnen was gegen -∞ geht, dann geht e^ dieser Exponent gegen 0. Hoch - bedeutet ja 1 durch, d.h. wenn wir jetzt 1 durch ex2 haben, geht das gegen 0, und zwar ziemlich schnell geht das gegen 0. Das schreib ich mal so salopp da drunter, da meistens der Grenzwert Kalkül nicht so vernünftig gemacht wird, muss ich das einfach mal so jetzt aufschreiben, mathematisch nicht ganz schön, aber ich muss es so machen. Und dann ist die Frage, wo geht das Gesamte hin? Wenn wir 2 Faktoren multiplizieren und der eine geht gegen +∞ und der andere geht gegen 0, dann ist die Frage wo geht das Produkt hin. Expotenzialfunktionen konvergieren wesentlich schneller als ganz rationale Funktionen. Das bedeutet e^-x2 geht viel schneller gegen 0 als x gegen +∞ geht und damit geht das Ganze hier gegen 0. Ich wollte 0 schreiben, ist das denn möglich. Also die Funktionswerte gehen gegen 0, falls x gegen +∞ geht und jetzt ist die Frage was passiert für x gegen -∞. Da die Funktion punktsymmetrisch ist, müssen die Funktionswerte ebenso gegen 0 gehen, wenn x gegen -∞ geht. Wenn wir uns vorstellen hier geht die Funktion gegen 0 und wir drehen die so um, dann haben wir hier wieder eine deckungsgleiche Funktion. Das ist ja deshalb so, weil es punktsymmetrisch ist. Also muss es hier ja auch gegen 0 gehen, es kann ja nicht woanders hingehen. D.h. das muss ich gar nicht mehr aufschreiben, du musst es, wenn du Klausur schreibst, natürlich dann noch aufschreiben, aber ich muss das hier nicht, ich habe es jetzt einfach gesagt. Also, die Funktionswerte gehen gegen 0, falls x gegen -∞ geht und wenn eine Funktion gegen 0 geht, dann ist immer die x-Achse eine Asymptote. Wenn du das aufschreiben sollst mit den Asymptoten, dann kommt jetzt noch für dich: Asymptote ist y=0, also die x-Achse hat da die Funktionsgleichung y=0. Damit ist das Verhalten im Unendlichen abgeschlossen und wir brauchen noch den Graphen. Das kann ich eben hier aufzeichnen. Ich mach das nur so Ungefähr um das hier anzudeuten. Du kannst es selber dann in einer Wertetabelle machen, du kannst jetzt die 3 Wendepunkte die wir haben und die beiden Extrema und so alle schön hier einsetzen. Das ist die y-Achse und wir haben nicht viel was passiert. Das einmal und hier das Ganze punktsymmetrisch auf der anderen Seite noch. Hier ist der eine Wendpunkt, der 2. Wendepunkt, der 3. Wendepunkt, die beiden Extrema auch hier und die sind ja dann bei 0,4 irgendwie hier und bei -0,4. So müsste ungefähr der Graph aussehen. Dann wollte ich noch was zum Monotonieverhalten sagen. Wir haben ja hier die Extrema und zwischendrin kann die Funktion steigen oder fallen. Wie macht man das, das Monotonieverhalten, man guckt sich die Nullstellen der 1. Ableitung an. Hier ist die 1. Ableitung. Die Nullstellen waren ja hier, also der eine x-Wert ist 1/\sqrt2 und der andere ist -1/\sqrt2. Das sind die beiden Nullstellen der 1. Ableitung, und wenn man jetzt wissen will, was passiert rechts dieser Nullstelle der 1. Ableitung, dann muss man einfach einen x-Wert einsetzen der größer als 1/\sqrt2 ist, also z.B. könnte man 1 einsetzen und dann gucken was die 1. Ableitung da macht, welchen Funktionswert sie hat. Also wenn ich hier 1 einsetze, dann steht ja hier 12, das ist 1. Hier steht dann letztendlich 1-2, das ist negativ. e hoch irgendwas ist immer positiv, wenn man etwas Positives mit etwas Negativem multipliziert, ist das Ganze negativ. Das bedeutet also, rechts von 1/\sqrt2 ist die Ableitung negativ und das gilt ja für alle Werte die sich rechts von 1/\sqrt2 befinden, für alle x-Werte, denn wenn einmal die Ableitung positiv und wieder negativ wäre, dann müsste ja hier noch eine Nullstelle sein, da ist aber keine mehr, also eine Nullstelle der 1. Ableitung, die ist aber nicht da. Deshalb  wissen wir also, dass rechts von 1/\sqrt2 die Ausgangsfunktion monoton fällt, weil ja die 1. Ableitung dort überall kleiner als 0 ist. Dann können wir noch einen Wert zwischen diesen beiden Nullstellen der 1. Ableitung einsetzen, z.B. 0. Das ist dann 0, die ganze Klammer ist gleich 1. e0 ist 1. Hier steht dann also 1 und damit wissen wir, zwischen diesen beiden Nullstellen der Ableitung ist die 1. Ableitung positiv, die Ausgangsfunktion steigt in diesem Bereich und das Gleiche kann man hier auch noch machen, wenn man dann etwas einsetzt, was links von -1/\sqrt2 liegt. Man könnte z.B. -1 nehmen, dann würde hier wieder +1 stehen, wenn wir -1 quadrieren, also da steht hier 1-2, das ist negativ, das ist positiv, im Ganzen ist es negativ, die 1. Ableitung ist links von -1/\sqrt2 negativ und damit fällt die Funktion von -∞ bis -1/\sqrt2. Das ist das Monotonieverhalten. Wie du das genau aufschreiben sollst, kann ich nicht so richtig sagen, weil das jeder Lehrer ein bisschen anders haben will und damit haben wir diese Funktion hier, diese Funktionsuntersuchung erledigt. Viel Spaß damit und tschüss.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Flyer wabnik

    Es ist x^2=(-x)^2. Der Film enthält keine Fehler.

    Von Martin Wabnik, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    aso Entschuldigung du sagst Nullstellen der ersten Ableitung im Nachhinein hatte ich überhört sry!

    Von S Ravi, vor etwa 4 Jahren
  3. Default

    danke hat mir sehr gut geholfen ! aber du hast nur ein Paar kleine Flüchtigkeitsfehler eingebaut die vielleicht für Verwirrung sorgen du sagst x^2 = (-x)^2 obwohl du meinst das x^2 ungleich (-x)^2 ist. Und du sprichst beim Monotonieverhalten von den Nullstellen, da wir ja nur eine Nullstelle (0/0) haben, meinst du meines erachtens die Extremstellen meinst. Danke für deine Mühe!

    Von S Ravi, vor etwa 4 Jahren