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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=xe^(-x^2) (2)

Hallo, es sind jetzt hier die Extrempunkte zu berechnen und die Wendepunkte zu berechnen dieser Funktion f(x)=xe-x2 und dazu brauchen wir die Ableitungen. Also geht es jetzt weiter mit der 1. Ableitung. Wir haben f'(x)= Nun, wir stellen fest, dass es sich hierbei um ein Produkt handelt, da braucht man die Produktregel, um ableiten zu können. Die Produktregel besagt, wir müssen erst den 1. Faktor ableiten, dann mit dem 2. multiplizieren, ein Pluszeichen setzen, den 1. Faktor hinschreiben und dann mit der Ableitung des 2. Faktors multiplizieren. Die Ableitung des 1. Faktors ist 1, denn die Ableitung von x ist 1 und den 2. Faktor hinschreiben, heißt also dann: e-x2, ja und ×1 schreibt man ja nicht hin, denn das ändert das Ergebnis nicht. Dann kommt das Pluszeichen, 1. Faktor, das ist x. Und dann brauchen wir die Ableitung von e-x2. Dabei handelt es sich um eine verkettete Funktion. e-x2 ist eine verkettete Funktion, die muss man mit der Kettenregel ableiten. Die Kettenregel besagt, man muss die innere Ableitung mal die äußere Ableitung rechnen und die innere Ableitung, also die innere Funktion, ist ja das, was man zuerst rechnet, wenn man diesen ganzen Term hier ausrechnen wollte. Man setzt also etwas für x ein, rechnet dann x2, setzt dann das Minuszeichen davor und setzt das Ganze in den Exponenten von e ein. Das, was man zuerst rechnet, ist also die innere Funktion, in dem Fall also -x2. Die Ableitung von -x2 ist -2x, also hier -2x und die Ableitung der äußeren Funktion ist genauso wie diese Funktion auch, denn wenn man e hoch innere Funktion ableitet, dann ändert sich nichts an der Funktion, die Ableitung ist dann genauso wie die Ausgangsfunktion. Also muss ich das hier noch hinschreiben: e-x2. Und das kann man natürlich auch noch zusammenfassen, man kann ausklammern mithilfe des Distributivgesetzes, ja, da ist es wieder. Was möchte ich denn ausklammern? Ich möchte e-x2 ausklammern. So, und dann steht hier ja die 1, die ist wichtig, denn manchmal lassen Schüler sowas weg, aber das wäre ja dann falsch. Also habe ich hier eine 1 stehen und das muss ich noch zusammenfassen hier, das ist -2x2 und das ist die erste Ableitung. Wenn du dich über die 1 wunderst, du kannst ja dann ausmultiplizieren. Das mal 1 ist ja das hier und das mal das, was hier hinten steht, ist ja das, was da steht, also dann stimmt es ja wieder. So, 2. Ableitung, da muss ich die 1. Ableitung ableiten und das geht so: Wir haben wieder ein Produkt und der 1. Faktor ist e-x2. Nach Produktregel muss ich den jetzt hier ableiten. Was rauskommt, weiß ich schon, nämlich -2x×e-x2. Und den 2. Faktor muss ich einfach noch dazu multiplizieren, das ist dann (1-2x2)+ ja das krieg ich nicht in eine Zeile, 1. Faktor hinschreiben, das ist e-x2 mal Ableitung des 2. Faktors. Der 2. Faktor besteht aus einer Summe. Ich kann die Summenregel verwenden: Die Ableitung von 1 ist 0, das brauche ich nicht hinschreiben. Plus Ableitung des 2. Summanden, die Ableitung davon ist -4x, also muss ich hier noch mit -4x multiplizieren. Und dann, ja ich muss gerade mal gucken, ob ich alles richtig gemacht habe, ich hatte irgendwie mal etwas anderes erwartet, ist egal. Ja, jetzt kann man das Ganze noch zusammenfassen, ich möchte wieder etwas ausklammern und zwar: e-x2 möchte ich ausklammern. So, und jetzt muss ich mir die ganzen anderen Bestandteile hier noch zusammensuchen. Hier steht ja noch -2x×1, ja das muss ich auch noch ausmultiplizieren hier und -2x×(-2x2) und hier habe ich noch die -4x, die müssen jetzt alle hier in die Klammer. Also, wenn ich -2x×1 rechne und dann noch -4x, dann stehen da insgesamt -6x. Und -2x×(-2x2) sind +4x3, x×x2 ist ja x3. Und ich denke, damit ist dann die 2. Ableitung erledigt. Ja, kommen wir zur 3. Ableitung, für den Wendepunkt braucht man die ja, oder man kann das Vorzeichenwechselkriterium verwenden, dann braucht man die nicht unbedingt. Aber ich mache sie jetzt hier, dann hast du auch am meisten davon, dann siehst du nämlich, wie die 3. Ableitung geht.

So, dabei handelt es sich um die Ableitung der 2. Ableitung und die 2. Ableitung ist hier wieder ein Produkt, d. h. ich darf also den 1. Faktor ableiten und hinschreiben, das ist also -2x×e-x2 mal 2.Faktor, der 2. Faktor ist also: (-6x+4x3) und dann plus 1. Faktor, also e-x2 mal Ableitung des 2. Faktors und da darf ich wieder die Summenregel verwenden für den 2. Faktor. Ich darf die Summanden getrennt ableiten und hinterher wieder addieren. Der 1. Summand ist -6x und die Ableitung davon ist -6. Und die Ableitung des 2. Summanden ist die Ableitung von 4x3, das ist 12x2. Und auch das kann man noch zusammenfassen mit Hilfe des Distributivgesetzes. Ich wollte es nur noch mal sagen, vielleicht dass jemand den Begriff nicht mehr parat hat oder so, könnte ja sein. Okay, ich muss das, was hier steht, diesen Faktor und das muss ich noch ausmultiplizieren hier und den muss ich auch noch beachten, dann gehe ich mal einfach der Reihe nach durch. Zunächst mal fange ich an mit dem höchsten Exponenten, wenn ich hier -2×x rechne mal 4x3, dann kommt der höchste Exponent zustande, der hier vorrätig ist, und zwar ist es das dann -8x4. Dann schreibe ich das mal als erstes in die Klammer -8x4, so dann sind die schon mal abgehakt. Dann habe ich -2x×-6, das ist +12x2. Hier stehen auch noch mal 12x2, insgesamt sind es also 24x2. Und dann kommen noch -6 hinzu, da muss ich gar nichts weiter noch multiplizieren und das ist dann die 3. Ableitung mithilfe des Distributivgesetzes noch ein bisschen aufgehübscht. Ja, und wo dann die Nullstellen sind und die Extrempunkte, mache ich im nächsten Teil. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    Achso hat sich schon erledigt, man geht also davon aus, dass e^-x^2 * (1-2x^2) ein Produkt ist?!

    Von Samim Parsa 1, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Im Video bei 3:55 min meinen sie, dass man mit der Produktregel ableiten muss, müsste es aber nicht die Kettenregel sein?

    Von Samim Parsa 1, vor fast 3 Jahren