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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=xe^x (2)

Hallo! Wir machen weiter mit der Kurvendiskussion der Funktion f(x)=x×ex. Wir haben schon die Symmetrie besprochen und den Definitionsbereich. Und es geht weiter mit den Achsenschnittpunkten. Da möchte ich mich zunächst mal kümmern um die Schnittpunkte mit der x-Achse, und das sind die Nullstellen, das heißt, ich muss den Funktionsterm hier gleich 0 setzen. Der Funktionsterm ist x×ex, der wird gleich 0 gesetzt. Also, wie geht man da ran? Zunächst mal stellen wir fest, es handelt sich bei diesem Term um ein Produkt. Wir wissen, ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist. Der eine Faktor ist x, der andere Faktor ist ex. x ist genau dann 0, wenn man für x 0 einsetzt. ex ist gar nicht 0, und deshalb ist die einzige Nullstelle der Funktion bei x=0. Dann interessiert uns der Schnittpunkt mit der y-Achse. Das bedeutet, wir müssen für x 0 einsetzen. Und das schreibt man so: f(0) müssen wir ausrechnen, ich darf den Funktionsterm einfach hinschreiben und für x jeweils dann 0 einsetzen, dabei kommt dann raus: 0×e0. e0=1, 0×1=0 und das ist keine Überraschung, denn wir haben ja hier schon herausgefunden, dass der Schnittpunkt mit der x-Achse bei 0 ist, also ist da auch der Schnittpunkt mit der y-Achse. Und damit sind hier die Achsenschnittpunkte abgehandelt. Dann kommen wir zu den Extrempunkten und dazu brauchen wir die Ableitungen. Es geht los mit f'(x). Ich mache gleich alle 3 Ableitungen, weil ja auch noch die Wendepunkte dazukommen. Wenn man einmal so beim Ableiten dabei ist, da kann man ja immer gar nicht mehr aufhören, nicht. Also, wir haben f(x)=x×ex, das ist ein Produkt, deshalb brauchen wir die Produktregel. Wir müssen den 1. Faktor ableiten, das ist 1, schreibe ich jetzt nicht hin, mal den 2. Faktor. Also, die Produktregel lautet ja, Ableitung des 1. Faktors mal 2. Faktor plus 1. Faktor mal Ableitung des 2. Faktors. Ableitung des 1. Faktors mal 2. Faktor steht hier, plus 1. Faktor mal Ableitung des 2. Faktors. Na ja, die Ableitung der Funktion ex ist wieder ex, also kann ich das hinschreiben. Dann kann man noch ausklammern, und zwar das ex. Ausklammern macht man mit dem Distributivgesetz. Ich habe eine ganze Filmreihe gemacht, zu den Ableitungen hier, da hab ich das auch noch mal genauer gezeigt. Hier mach ich es jetzt nicht genauer. Also 1+x bleibt übrig, hier für den 2. Faktor. Sollte dir das komisch vorkommen, wo die 1 herkommt, kuck dir das Distributivgesetz noch mal an, kuck dir diese Übungsaufgaben dazu an. Ist wichtig, weil es immer wieder drankommt. Das ist schon die 1. Ableitung. Dann geht es weiter mit der 2. Ableitung. Ich muss da jetzt also die 1. Ableitung ableiten. Es handelt sich wieder um ein Produkt. Das heißt, ich muss jetzt hier hinschreiben, Ableitung des 1. Faktors, das ist also ex, mal 2. Faktor, das ist 1+x, plus 1. Faktor mal Ableitung des 2. Faktors. Schreibe ich jetzt nicht hin, weil die Ableitung des 2. Faktors gleich 1 ist. Da könnte hier noch mal 1 hinschreiben, aber das macht man ja normalerweise nicht. Und auch hier kann man wieder ausklammern, und zwar das ex. Was bleibt dann hier übrig? Einmal haben wir 1+x, und hier kommt ja auch noch eine 1 dazu, im Ganzen ist es dann also 2+x. Auch das möchte ich nur kurz zeigen, nicht mit allen Einzelheiten, weil ich davon ausgehe, dass du das Distributivgesetz kannst. Weil es gerade so schön ist, die 3. Ableitung auch noch. Nun muss das hier abgeleitet werden. Also, es ist wieder ein Produkt. Ableitung des 1. Faktors ist ex, mal 2. Faktor, also ×2+x+ 1. Faktor, also ex mal Ableitung des 2. Faktors. Das ist gleich 1, brauch ich wieder nicht hinschreiben. Ausklammern kann man auch noch. Ich versuch das noch hier hin zu quetschen. Das ist ex×(3+x), wieder mit dem Distributivgesetz, glaube ich muss ich nicht noch mal zeigen. Das sind die 3 Ableitungen. Wie man daraus jetzt Wendepunkte und Extrempunkte erkennt, mach ich im nächsten Teil. Viel Spaß, tschüss!

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