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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=(x - 1)e^x (4)

Hallo!Jetzt kommt der letzte Teil unserer freundlichen Kurvendiskussion (x - 1)ex. Wir sind gekommen bis zu den Wendepunkten und nun kommen wir zu dem Verhalten im Unendlichen, und das ist dann der Teil, bei dem ich immer wieder etwas rumdrucksen muss, weil die Grenzwertkalküle nicht so richtig gemacht werden in der Schule - zumindest aus Sicht der Mathematik werden sie etwas stiefmütterlich behandelt - und deshalb muss man hier etwas interpretieren. Also gucken wir uns doch mal an was passiert, wenn x gegen unendlich geht. Dann wissen wir, dass es erst einmal um den Term (1-x). ex geht und (1-x) geht gegen -Unendlich, wenn x gegen +Unendlich geht, und ex geht gegen +Unendlich. Wenn wir nun etwas was gegen -Unendlich geht mit etwas multiplizieren, dass gegen +unendlich geht, dann geht das Ganze gegen -Unendlich. Was passiert für x gegen -Unendlich? Dann folg, dass (1-x) gegen +Unendlich geht und ex gegen 0 geht. Also wenn wir hier für x etwas Negatives einsetzen haben wir 2 negative Vorzeichen, denn - - von etwas geht gegen +Unendlich, die 1 stört uns da nicht weiter. ex geht bei negativen Werten gegen 0 - das bedeutet ja 1/egroßer Exponent - und das geht gegen 0. Da müssen wir nun die Funktion Hierarchie beachten: Exponentialfunktionen gehen immer schneller gegen Unendlich gegen 0 als ganzrationale Funktionen, was in dem Fall bedeutet: Wenn man ein Produkt aus einer ganzrationalen Zahl hat und einer Exponentialfunktion, dann geht das Produkt immer dahin, wohin die Exponentialfunktion hingeht. Das heißt also, wenn die ganzrationale Funktion gegen + oder -Unendlich geht, wird multipliziert,  bei einer Exponentialfunktion, die gegen 0 geht, geht das ganze Produkt gegen 0. Das heißt dann für uns, dass das ganze Produkt gegen 0 geht. So kann man das aufschreiben. Es gibt viele Möglichkeiten das aufzuschreiben. Frage dazu deinen Mathelehrer deines Vertrauens, der dir dann sagt, wie du das aufschreiben sollst, damit du alle Punkte in der nächsten Klausur bekommst. Dann fehlt noch der Graf. Was können wir da machen? Wir nehmen uns eine x-Achse und eine y-Achse und können das verwenden, was wir schon wissen. Wir wissen, dass bei x=1 eine Nullstelle ist, wir wissen, dass der Schnittpunkt mit der y-Achse bei 1 ist, wir wissen dass die Funktion gegen -Unendlich geht, für x +Unendlich. Wir wissen, dass bei x=0 ein Extremum ist, der Funktionswert ist 1, wir wissen, dass bei -1 ein Wendepunkt ist, das heißt, da geht die Funktion von dieser Krümmung in die andere über und wir wissen, dass die Funktionswerte gegen 0 gehen, falls x gegen -Unendlich geht. Dann haben wir schon viele Eigenschaften dieser Funktion hier. Wenn du die dann mal vernünftig zeichnest mit  einer vernünftigen Wertetabelle, oder wenn du ein Computerprogramm benutzt, wirst du feststellen, dass sie wirklich so ungefähr aussieht. Damit haben wir die entscheidenden Dinge hier gesagt über die Funktion. Jetzt kommt noch das Monotonieverhalten. Als letzter Punkt hier auf der Liste - manchmal wird es gemacht, manchmal nicht - ich zeig es jetzt hier. Beim Monotonieverhalten geht es darum, wo sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Die Ableitung des ersten Faktors ist -ex+(1-x)ex.Wenn man das zusammenfasst, ist es -xex .Das ist die erste Ableitung. Es geht um die Nullstellen der ersten Ableitung. Wir wissenf‘(x)=0 <=> x=0 , da habe ich jetzt eben schon gezeigt. Wir müssen uns nun überlegen, da das hier die einzige Nullstelle der Ableitung ist, welche Funktionswerte hat die Funktion link von x=0, welche Werte hat sie rechts von x=0? Sind die Funktionswerte von x größer oder kleiner gleich 0? Sie können nicht größer und gleichzeitig kleiner sein, denn dann hätte die Funktion dort noch eine weitere Nullstelle. Hat sie aber nicht, deswegen sind alle Funktionswerte entweder größer oder kleiner = 0 - links von x=0 .Dann setzte ich einfach mal für x -1 ein. Das heißt, ich habe hier nun -1, und das ist +1. Und dann kann ich e^-1 rechen und das ist 1/e, und das ist größer als 0. Das heißt, die Ableitung ist links von x=0 größer als 0, und das wiederum bedeutet, die Funktion steigt - links von 0. Ich schreibe das hier etwas unorthodox hier auf, ich weiß nicht, wie ich es aufschreiben soll, da gibt es ja viele Versionen. Am besten, du fragst nach, wie du das machen sollst. Dann müssen wir uns überlegen, was passiert rechts von x=0, das heißt, ich kann jetzt einfach mal für x 1 einsetzen, dann steht da -e1 und das ist eindeutig negativ, und das bedeutet, rechts von x=0 fällt die Funktion und das ist auch das, was wir hier sehen: Links von x=0 steigt die Funktion, rechts davon fällt sie. Das ist das Monotonieverhalten und damit ist hier alles gesagt.Viel Spaß damit - tschüss.

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1 Kommentar
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    Danke danke danke! Sie haben das sehr anschaulich erklärt! top!

    Von Sveamerit, vor 10 Monaten