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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=(x - 1)e^x (2)

Hallo, es geht weiter mit der Kurvendiskussion dieser Funktion (x - 1)ex. Wir haben schon den Definitionsbereich, die Symmetrie, die Achsenschnittpunkte. Es geht weiter mit den Extrempunkten. Dazu brauchen wir die Ableitungen.

Die erste Ableitung sieht folgender Maßen aus: Wir haben ja hier ein Produkt vorliegen, dann brauchen wir also die Produktregel beim Ableiten. Das ist also hier der erste Faktor, wir müssen also Ableitung des 1. Faktors × 2. Faktor + 1. Faktor × Ableitung des 2. Faktors bilden. Ableitung des ersten Faktors ist -1 × 2. Faktor ist dann ex +  1. Faktor, also (1-x), × Ableitung des 2. Faktors, eine e-Funktion bleibt nach dem Ableiten gleich, daher ex. Jetzt kann man ausklammern, und zwar ex, mithilfe des Distributivgesetzes, ich darf es gerne noch einmal sagen, was haben wir da noch einmal in der Klammer stehen? Hier haben wir -1 und +1 steht in der Klammer, und dann heben sich ja -1 und +1 auf, es bleibt also noch -x stehen, und das schreibt man dann normalerweise ein wenig anders auf. Man setzt das -x quasi vor das ex. Nicht nur quasi, sondern tatsächlich und in echt. Das ist unsere erste Ableitung: -x×ex. Dann kann ich mich auch direkt um die 2. Ableitung kümmern. f''(x). Dazu müssen wir nun die erste Ableitung ableiten. Wir stellen fest, dass es sich bei diesem Term um ein Produkt handelt, der erste Faktor ist -x, der zweite Faktor ist ex, wir brauchen also die Produktregel. Und deshalb muss ich jetzt hier Folgendes hinschreiben: Ableitung des ersten Faktors, das ist 1, mal 2. Faktor, das ist ex, + 1. Faktor, und weil der erste Faktor -x ist, brauche ich hier nicht +/- hinzuschreiben, sondern schreibe gleich das - hin. Also -x × Ableitung des 2. Faktors, so geht es ja weiter, und die Ableitung von ex ist ex. Jetzt kann man das Ganze noch ausklammern, wir können ex ausklammern, und dann leibt hier noch -1 und -x übrig,. Das geht gerade noch hier hin -x und -1, obwohl ich hätte auch -1 und -x schreiben können -völlig egal. hier noch einmal in voller Schönheit die 2. Ableitung. Wenn du nun einen Wendepunkt mit dem Vorzeichenwechselkriterium berechnen möchtest, dann brauchst du die 3. Ableitung nicht, aber ich zeige sie hier, denn es gibt ja auch ein hinreichendes Kriterium für einen Wendepunkt, bei dem man die 3. Ableitung braucht. Also, ich muss ableiten: ex×(-x-1). Und dann geht es los mit der Ableitung des ersten Faktors - es handelt sich ja wieder um ein Produkt dabei, wir brauchen die Produktregel. Ableitung des 1. Faktors, × 2. Faktor + 1. Faktor × Ableitung des 2. Faktors. Die Ableitung des ersten Faktors ist einfach -1, ich glaube da verrate ich kein Geheimnis. Jetzt können wir noch ausklammern, und zwar das ex. Dann bleibt noch in der Klammer -x-2  und das ist unsere dritte Ableitung. Wenn wir die Extrempunkte berechnen, fangen wir mit dem notwendigen Kriterium an, also mit der notwendigen Bedingung. Das heißt f'(x)=0. Das ist genau dann der Fall, wenn unsere freundliche Ableitung =0 ist. Nämlich dann, wenn -x×ex=0. Und da ex×-x ein Produkt ist, können wir den Satz anwenden, dass ein Produkt nur dann 0 ist, wenn sein Faktor 0 ist. ex wird sowieso nicht 0 für x. Also müsste -x=0 sein, und wenn das hier richtig sein soll. -x ist genau dann =0, wenn x=0 ist.  Das muss ich glaube ich nicht mehr weiter begründen. Das bedeutet, wir haben einen Kandidaten für ein Extremum bei x=0. Fast hätte ich gesagt, wir hätten ein Extremum bei x=0, aber das weiß man ja nicht bei der notwendigen Bedingung, also wenn die notwendige Bedingung erfüllt ist, bei diesem Kriterium wissen wir nur, dass sich an dieser Stelle ein Extremum befinden kann. Wir wissen noch nicht, ob es tatsächlich da ist, das macht man dann mit der hinreichenden Bedingung, und die kommt im nächsten Teil. Bis dahin viel Spaß - tschüss!

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