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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=(x - 1)e^x (1)

Eine Kurvendiskussion mit einer e-Funktion. Wir haben f(x)=(1-x)ex. Diese Punkte hier möchte ich behandeln. Ganz zu Anfang vielleicht den Definitionsbereich. Der Definitionsbereich ist R, das heißt, alle reellen Zahlen kann man hier einsetzen, wir haben keine Wurzeln, keine Logarithmen, wir haben keine Brüche, deshalb können wir hier alles einsetzen. Dann geht es um die Symmetrie, manchmal wird das hier mit e-Funktionen gemacht, manchmal nicht. Ich mach es jetzt hier einfach mal vor, wenn du das nicht brauchst oder nicht unbedingt wissen willst, kannst du ja im Film nach vorne springen. Achsensymmetrie zur y-Achse berechnet man folgendermaßen, bzw. es geht hier um eine kleine Gleichung, es geht um f(x)=f(-x). Wenn das für alle x gegeben ist, dann ist eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Das heißt, ich kann also hier erst mal den Funktionsterm abschreiben: f(x)=f(-x). Dann den Term noch einmal hinschreiben, aber für x setz ich jetzt jeweils -x ein: (1-x)ex=(1+x)e^-x. Dann möchte ich zunächst mal mit ex multiplizieren, e^-x bedeutet ja 1/ex. Dann haben wir hier also: (1-x)e2x. Ich hoffe, das bringt dich nicht durcheinander. Die Rechenregeln für Potenzen kennst du ja. Wenn man Potenzen multipliziert, und zwar Potenzen, die gleiche Basen haben, dann addieren sich die Exponenten, in dem Fall also x+x=2x. Und hier haben wir dann noch (1+x) stehen, also (1-x)e2x=(1+x). Und jetzt kann man zum Beispiel noch durch (1-x) teilen. Und zwar unter der Voraussetzung, dass x ungleich 1 ist. Dann haben wir hier: e2x=(1+x)/(1-x). Wenn das also für alle x richtig wäre, außer für x ungleich 1, dann hätten wir eine Chance darauf, dass die Sache hier symmetrisch zur y-Achse ist. Aber ich glaube man kann es hier leicht erkennen. Wenn man für x Zahlen einsetzt, die größer als 1 sind, dann ist dieser Nenner hier negativ, dieser Zähler ist dann positiv. Das Ganze ist dann negativ. e2x ist nicht negativ, e2x ist immer positiv. Daher ist diese Gleichung nicht richtig. Man kann das hinschreiben als: nicht erfüllt für x > 1. Und daher ist diese Funktion nicht achsensymmetrisch. Bei der Punktsymmetrie geht es ähnlich zu und ich glaube, dass mach ich jetzt nicht vor. Das ist fast analog. Man nimmt halt die Definition der Punktsymmetrie: f(x)=-f(-x). Wenn das für alle x erfüllt ist, dann ist diese Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Das ist also die Definition für die Punktsymmetrie zum Ursprung. Aber diese Funktion ist nicht punktsymmetrisch, es wird auf genau so eine Sache wie vorab hinauslaufen. Ich glaube, das brauch ich hier nicht noch einmal vormachen. Dann kommen wir zu den Achsenschnittpunkten. Die Achsenschnittpunkte sind auch relativ schnell gemacht bei dieser e-Funktion. Wir gucken uns jetzt vielleicht erst mal den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Das heißt wir müssen für x 0 einsetzen. Dann steht hier: f(0)=(1-0)e0. Es ist e0 = 1, (1-0) =1, 1×1 = 1. Damit ist der Schnittpunkt mit der y-Achse bei y=1. Ebenso einfach geht es bei den Schnittpunkten mit der x-Achse zu. Wir müssen den Funktionsterm f(x)=0 setzen. Das ist also dann der Fall, wenn (1-x)ex=0 ist. Und wir stellen fest, dass dieser Term hier ein Produkt ist. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist. ex ist sowieso nicht 0, (1-x) ist 0 wenn x=1 ist. Und deshalb wissen wir, dass eine Nullstelle dieser Funktion hier bei x=1 liegt. Es ist auch die einzige Nullstelle, weil das die einzige Lösung hier dieser Gleichung ist. Ich lass das so stehen, ich schreib das nicht genauer und schöner auf, es gibt zwar noch andere Möglichkeiten das aufzuschreiben, aber du weißt ja, wie du das dann machen kannst. Damit ist das für mich hier erledigt, die Achsenschnittpunkte und die Symmetrie. Es geht im nächsten Teil weiter mit den Extrempunkten und den Ableitungen. Viel Spaß, bis dahin.

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1 Kommentar
  1. Default

    ich kann hier nichts sehen!!!!

    Von Ariadna, vor fast 5 Jahren