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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=4xe^(-x) (5)

Hallo, es geht weiter mit der Kurvendiskussion 4x×^-x und wir haben schon Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte, alles schon erledigt. Jetzt kommt das Verhalten im Unendlichen. Oder wie man sagt, dass Globalverhalten, manchmal sind auch Assymtoten dabei, hier dann auch das gleiche. Ich versuche es irgendwie kurz zu machen jetzt, um die Sache hier abzuschließen. Also wir müssen uns überlegen, was passiert, wenn x z.B. plus unendlich geht, limes für x gegen plus unendlich, klar wenn da unendlich steht, heißt es ja plus unendlich, limes für x gegen plus unendlich von f von x oder man kann auch schreiben von 4x×e^-x so, was kann das sein, wir haben ja hier ein Produkt vorliegen, aus den beiden Faktoren 4x und e^-x. Jetzt können wir glaube ich unschwer erkennen, das 4x gegen plus unendlich geht als x gegen plus unendlich geht. Das darf man hier glaube ich so voraussetzen. Dann haben wir e^-x, e^-x geht gegen 0, falls x gegen unendlich geht. Wenn man jetzt mal große Zahlen für x eingibt, z.B. 1 Million, da steht dann e^-1.000.000, das bedeutet ja 1÷e1.000.000 und weil e1.000.000 eine große Zahl ist, ist 1÷e1.000.000 eine kleine Zahl. Wenn ich das mal einfach so unmathematisch ausdrücken darf. So, wo geht jetzt das Produkt hin, wenn der eine Faktor gegen plus unendlich geht und der andere gegen 0 geht. Dann geht es einfach darum, welcher Faktor hier überwiegt. Und da hättest du, gemacht haben sollen eine gewisse Funktionhierachie, wo dann z.B. klar gemacht wird, das Expotentialfunktionen immer ganz rationale Funktionen, wie z.B. axn dominieren, d.h. wenn wir ein Produkt haben, aus expotential Funktionen und ganz rationaler Funktionen, so wie das hier ist, 4x ist ja eine ganz rationale Funktion, dann geht die gesamte Funktion, das gesamte Produkt immer dahin wo die Expotential Funktion hingeht, also in unserem Fall ist es, wenn die Expotentialfunktion gegen 0 geht, und die ganz rationale Funktion gegen plus unendlich geht, geht das Produkt gegen 0, könnte auch anders rum vorstellbar sein, Expotentialfunktion gegen plus unendlich. Die ganz rationale Funktion geht gegen 0, danngeht das Produkt gegen 0 unendlich. Das bedeutet, dass dieser Grenzwert hier, limes für x gegen plus unendlich von 4x×e^-x existiert, und er ist gleich 0. Man kann, weil das so ist, auch sagen, dass die x Achse Assymtote ist. Also das ist eine Gerade an die sich die Funktionswerte annähern, falls x gegen plus oder -  unendlich geht in dem Fall für x gegen plus unendlich, das ist ein Assymtot und damit ist die x Achse also y gleich 0 die Assymtote. Jetzt muss ich dazu noch sagen, das ich das auch etwas unmathematisch vorgetragen habe, weil ich hier den Grenzwertkalkyl, Folgen und Reihen usw. Grenzwert setze, nicht benutze und das mache ich deshalb nicht, weil es in Schulen vorkommt, dass Folgen und Reihen gar nicht richtig gemacht werden, d.h. das man gar nicht so richtig weiß was ein Grenzwert ist und hier auch keine Grenzwertsätze darauf anwenden kann, und man sich das immer ein bisschen zusammenreimen muss, ich finde es nicht ganz richtig, aber es wird so gemacht, deshalb trage ich das hier so vor, ohne richtige Grenzwertssätze zu verwenden. Dann kommt der nächste Fall, was passiert für x gegen - unendlich. x gegen - unendlich, die Frage ist, wo geht dann f von x hin? Ja, so kann man das aufschreiben. Und da kann man sich folgendes überlegen, Also, 4x geht gegen - unendlich falls x gegen minus unendlich geht. Ich glaube wir brauchen darüber nicht zu diskutieren. e^-x geht gegen plus unendlich falls x gegen - unendlich geht. Wenn ich hier eine negative Zahl für x einsetze, da steht ja minus minus die Zahl, das ist plus, d.h. wir haben dann minus 1.000.000 hier stehen, dann haben wir minus minus 1.000.000, das ist plus 1.000.000 , also e1.000.000 ist eine große Zahl, e^-x geht gegen plus unendlich falls x gegen minus unendlich geht. Dann kann man das zusammenfassen, dass ist jetzt auch alles ohne Grenzwertsätze, leider muss ich das so vormachen, etwas unmathematisch. Dann geht das Produkt, gegen minus unendlich. Einfach deshalb, in dem Fall, weil wenn etwas gegen minus unendlich geht und etwas gegen plus unendlich geht, weil es multipliziert wird, dann geht das Produkt immer gegen minus unendlich. D.h. ich darf hier minus unendlich hinschreiben und damit ist der Fall hier im Wesentlichen auch erledigt. Ich möchte eine kleine Sache noch hier zum Besten geben, und zwar eine Schreibweise, die ebenfalls umstritten ist, und zwar diese Schreibweise mit dem Limes, ist in diesem Fall wirklich umstritten, also limes für x gegen plus unendlich für f und x. Da gibt es einige Leute, die dann hier minus unendlich hinschreiben. Man kann jetzt argumentieren, ja gut, wenn das gegen minus unendlich geht, dann kann man das ja so hinschreiben, man kann aber auch argumentieren, der limes ist der Grenzwert. Wenn etwas gegen minus unendlich geht, existiert dieser Grenzwert nicht. Das heißt, das was hier steht, ist völliger Blödsinn, weil ja dieser limes gar nicht da  ist. Haben wir ja hier geschrieben, dass der nicht da ist. Kann man auch so auffassen, es sind beide Schreibweisen üblich, beide Argumentationen sind üblich, ich möchte mich da nun weiter raus halten, wie man das jetzt schreiben soll. Wenn die Mathematik dahinter klar ist, denke ich ist es auch, egal wie man es aufschreibt, wenn man weiß, was man meint. So, damit ist jetzt die Kurvendiskussion fast abgeschlossen, jetzt brauchen wir noch den Grafen. Übrigens eine Assymtote hier im negativen Bereich gibt es nicht. Assymtoten können ja auch Näherungsfunktionen sein, die nicht nur Geraden sind, die meisten machen es nicht in der Schule, aber das kann eben auch so sein, dass es andere Näherungsfunktionen gibt. Eine Gerade als Näherungsfunktion haben wir hier nicht, deshalb wäre also die richtige Antwort auf die Frage, gibt es für x minus unendlich Assymtoten oder eine Assymtote? Da ist die Antwort, nein. Der Graf sieht ungefähr so aus, ja hier geht er sehr schnell ins minus, gegen minus unendlich, also von diesem Nullpunkt ausgesehen hier. Er hat hier so ein Maximum, ein Wendepunkt und geht dann hier immer mehr nach null, so ungefähr sieht das aus. Da kann man jetzt noch ein Extremum einzeichnen mit dem Hochpunkt, den Koordinaten und dem Wendepunkt und Nullpunkt sieht man ja. Damit ist die Sache hier abgeschlossen, Du kannst das natürlich auch mit einem Programm zeichnen lassen, du sollst aber ungefähr wissen, wie, da was zusammenhängt, was der Faktor 4x macht, du kannst ja mal 10x einsetzen, mal kucken was passiert, ob sich was ändert usw. es ist ganz gut, wenn man da ein halbwegs gutes Gefühl dazu hat. Warum Grafen so aussehen, wie Sie aussehen. Oft muss man das in Abituraufgaben auch erklären, also das wird durchaus abgefragt, auch das wie oft und  wie viele Menschen denken weiches Wissen darüber, wie sehen Grafen aus und warum kommen sie so zustande. Das war es mit der Kurvendiskussion. Viel Spaß damit, Tschüss

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1 Kommentar
  1. Img 5132

    Sehr hilfreich, vielen Dank! :)

    Von Lara Haus, vor fast 3 Jahren