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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=4xe^(-x) (4)

Hallo, es geht weiter mit der Kurvendiskussion einer e-Funktion. Wir haben die Funktion 4x × e^-x und haben die 1. Ableitung und die 2. Ableitung, wir haben auch schon die 3. Ableitung und den einzigen Hochpunkt gefunden, der die Koordinaten ( 1 | 4e^-x ) hat. Ich hab das nicht weiter ausgerechnet, du kannst es in den Taschenrechner eintippen, wenn du einen Näherungswert haben willst. Das heißt, die ersten 3 Punkte haben wir schon abgearbeitet, jetzt kommen die Wendepunkte dran. Vielleicht noch eine klitzekleine Sache zu dem Hochpunkt, ich habe den Hochpunkt hier mit dem hinreichenden Kriterium bestimmt, und zwar mit dem hinreichenden Kriterium, das aus der 1. und der 2. Ableitung besteht, aber das geht auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium. Aber es ist immer ein klein wenig aufwendiger den Vorzeichenwechsel an der Nullstelle der 1. Ableitung zu bestimmen, weil man da 2 Werte einsetzen muss, und man muss auch noch sicherstellen, dass diese Werte, die man in die 1. Ableitung einsetzt, sich tatsächlich zwischen einer Nullstelle und der rechts nächstgelegenen Nullstelle und der links nächstgelegenen Nullstelle befindet. Das ist immer ein kleines bisschen aufwendiger, und deshalb macht man hier in der Regel, wenn es kein großer Aufwand ist, die 2. und die 3. Ableitung zu machen, macht man die Extrempunkte mit der 1. und der 2. Ableitung bzw. Wendepunkte mit der 2. und der 3. Ableitung. Jetzt also zu den Wendepunkten. Das notwendige Kriterium für Wendepunkte lautet: Nur dann, wenn die 2. Ableitung 0 ist, kann sich an dieser Stelle ein Wendepunkt befinden. Davon gibt es viele Formulierungen, aber du weißt, was das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist. Das heißt also: Die 2. Ableitung gleich 0 setzen, und das werde ich jetzt hier machen. 0 = e^-x × ( 4x -8 ) Diese rechte Seite ist ein Produkt. Ein Produkt ist nur dann 0, wenn ein Faktor 0 ist. e^-x ist nicht 0, für gar kein x. Dieser Faktor, 4x - 8, ist gleich 0, wenn x = 2 ist. Ich glaube, das braucht man nicht weiter auflösen. Wenn du das nicht direkt sehen kannst, dann kannst du eine Gleichung noch hinschreiben, nämlich 4x - 8 = 0, und dann deine Äquivalenzumformung machen, dann nach x auflösen, aber ich glaube, man darf es hier ruhig so sehen, dass die Klammer, und damit die gesamte 2. Ableitung nur dann 0 ist, wenn man für x 2 einsetzt. Wenn jetzt die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 sein sollte, dann haben wir dort einen Wendepunkt. Das ist die hinreichende Bedingung für Wendepunkte mit 3. Ableitung. Wir könnten auch sagen, nach dem Vorzeichenwechselkriterium: Wenn die 2. Ableitung gleich 0 ist, und an dieser Nullstelle einen Vorzeichenwechsel hat, dann befindet sich an dieser Stelle ein Wendepunkt. Ich möchte es jetzt in die 3. Ableitung einsetzen, und das kann ich gleich im Kopf machen, ich glaube, das muss ich nicht alles extra aufschreiben. Wenn man hier für x 2 einsetzt, dann steht hier e^-2x. e^-2x ist positiv. Wenn man hier für x 2 einsetzt, haben wir hier im Ganzen -4 × 2, also -8, + 12, ist 4. Hier ist etwas Positives, wird multipliziert mit etwas Positivem hier in der Klammer. Das Ganze ist dann positiv, also ungleich 0, das bedeutet, das hinreichende Kriterium für Wendepunkte ist erfüllt. Du musst das dann in deinem Heft natürlich vernünftig aufschreiben, wenn du das jetzt so abgeben willst, das darfst du natürlich nicht im Kopf machen. Da das hinreichende Kriterium für Wendepunkte erfüllt ist, muss ich nun für x 2 in die Ausgangsfunktion einsetzen, denn wir möchten ja noch den Funktionswert an der Stelle x = 2 haben, damit wir die beiden Koordinaten des Wendepunktes haben. Also: f(2) = 4 × 2 × e^-2. So, das ist 8 × e^-2, oder man kann auch sagen 8/e2. Jetzt kannst du das in deinen Taschenrechner eintippen und noch einen Näherungswert angeben. Ich mache das hier nicht, sondern ich sage einfach: Der Wendepunkt hat die Koordinaten ( 2 | 8e^-2 ). Dann kommt noch das Verhalten im Unendlichen, da werde ich dann noch einen Filmteil draus machen, mit dem Wendepunkt sind wir fertig. Viel Spaß, tschüss.

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