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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=4xe^(-x) (3)

Hallo. Es geht weiter mit der Kurvendiskussion einer e-Funktion. Wir haben die folgende Funktion: x=4x×e^-x. Wir haben uns schon gekümmert um den Definitionsbereich und um die Symmetrie. Die Funktion ist nicht symmetrisch. Wir können uns weiter jetzt vorarbeiten, und zwar mit den Extrempunkten und den Wendepunkten. Dazu braucht man Ableitungen. Deshalb hab ich hier schon mal Ableitungen angefangen. Also wir haben die erste Ableitung hier in der schönen Form, nämlich e^-x×(4-4x). Die Ableitung. Die 2. Ableitung hab ich hier schon, auch in der schönen Form ausgeklammert mithilfe des Distributivgesetzes: e^-x×(4x-8). Und jetzt gehts an die 3. Ableitung. Ja, manchmal braucht man die dritte Ableitung, manchmal nicht. Ich mach sie jetzt einfach hier vor. Dann ist sie da. Es ist auch kein großer Aufwand. Also ich sag gleich noch was dazu, wann man sie braucht und wann man sie nicht braucht. Also wir haben wieder ein Produkt vorliegen. Und müssen, wenn wir diese Funktion ableiten wollen, die Produktregel verwenden. Also den ersten Faktor ableiten, mal zweiter Faktor -darf ich einfach so hinschreiben - plus 1. Faktor mal Ableitung des 2. Faktors. In unserem Fall ist das einfach ×4. Ja, ich glaube ich muss das alles nicht noch einmal erklären. Ich habs in den vorherigen Ableitungen erklärt. Und es gibt ja viele Übungsaufgaben dazu, wo du dann das Ableiten von e-Funktionen üben kannst. Und auch zusammengesetzten Funktionen. Soll jetzt hier an der Stelle nicht passieren. Dann wollte ich ausklammern habe ich gesagt. Und zwar: e^. Hier kommt ein Minus hin. Hab den Fehler schon mal gemacht hier irgendwo, dass ich das Minus hier vergessen habe. Also da muss ein Minus hin. Also e^-x möchte ich ausklammern. Was bleibt in der Klammer übrig? Ich habe hier -4x. Ja da ist das Minus Zeichen und 4x. Ich habe hier +8+4=12. +12 kann ich rechnen ohne Taschenrechner. Juche. 3. Ableitung in der schönen Form, ausgeklammert mithilfe des Distributivgesetzes. So, was soll das Ganze jetzt? Wir brauchen die Nullstellen der 1. Ableitung. Und zwar deshalb, weil das notwendige Kriterium gilt. Das notwendige Kriterium besagt, dass ein Extrempunkt sich nur an der x-Stelle befinden kann. Also, wenn man sagt Stelle, meint man immer Punkt auf der x-Achse. Ein Extremum kann sich nur an der Stelle befinden, wo die erste Ableitung null ist. Notwendig heißt, ohne gehts nicht. Das reicht noch nicht ganz. Also nicht überall da, wo die erste Ableitung =0 ist, ist auch ein Extremum. Oder es muss nicht da sein unbedingt. Aber wenn irgendwo eins ist, dann muss da einfach die erste Ableitung 0 sein. Anders gehts nicht. Bedeutet also, ich darf die erste Ableitung =0 setzen, und mir überlegen was muss ich für x einsetzen, damit diese erste Ableitung 0 wird. An welchen Stellen ist das der Fall? Ja, schreiben ist nicht so einfach. So, 1. Ableitung =0 gesetzt. Diese 1. Ableitung ist ein Produkt. Ein Produkt wird nur dann 0, wenn ein Faktor 0 ist. Der erste Faktor ist e^-x. Wir wissen von e^-x das es überhaupt nicht 0 wird. Das heißt, es bleibt nur noch der 2. Faktor. Das heißt, ich kann den 2. Faktor =0 setzen. Erhalte dann also 4-4x=0. Jetzt kann ich die 4x auf die andere Seite bringen, indem ich also +4x rechne auf beiden Seiten. Dann habe ich da 4=4x stehen. Dann muss ich noch durch 4 teilen. Und dann steht da 1=x. Also die einzige Nullstelle. Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung ist bei x=1. Wenn an dieser Stelle x=1 die zweite Ableitung ?0 ist, dann ist dort auch an dieser Stelle ein Extremum. Das, was ich gerade gesagt habe, ist die hinreichende Bedingung. Darf ich auch noch mal drauf hinweisen. Hinreichende Bedingung bedeutet, wenn die 1. Ableitung =0 ist und an derselben Stelle die 2. Ableitung ?0 ist, dann ist dort ein Extremum. Umgekehrt gilt die Folgerung nicht. Also es heißt, nicht überall, wo ein Extremum ist, muss die erste Ableitung =0 sein und gleichzeitig die 2. Ableitung =0 sein. Wichtig wird immer nachgefragt in Prüfungen. Notwendig mit den hinreichenden Bedingungen musst du drauf haben. Und die Folgerung jeweils. Also, was folgt, wenn aus Extremum und notwendigen und hinreichenden Bedingungen und so weiter. Also ich möchte gucken, ob die 2. Ableitung an der Stelle x=0?0 ist. Dann nehme ich mir diese 2. Ableitung vor und setze für x jeweils 1 ein. Das heißt, ich habe e^-1×4×1-8. Und 4×1=4-8=-4. e^-1 ist nicht 0. Etwas was nicht 0 ist×-4?0. Und damit wissen wir, dass die hinreichende Bedingung erfüllt ist. Und somit an der Stelle x=1 ein Extremum existiert. Wir wissen auch, dass dieses Extremum ein Maximum ist. Und zwar deshalb, weil ja der Funktionswert der zweiten Ableitung bei der Stelle x=1 negativ ist. Die hinreichende Bedingung sagt: wenn also die 1. Ableitung =0 ist und die zweite <=0 ist, dann befindet sich da ein Extremum. Nicht nur ein Extremum, sondern sogar ein Maximum. Wenn die erste Ableitung =0 ist und die zweite Ableitung >= ist, dann befindet sich an dieser Stelle ein Minimum. Also diese ist <=0 und deshalb gibt es hier ein Maximum. Ja, vielleicht weil manche hier Minus Zeichen sehen oder so was. Hier steht ja in der Klammer letzten Endes -4. Und hier e^-1 ist nicht negativ. e^-1 ist positiv. Wenn wir was Positives mit was Negativem multiplizieren, dann kommt etwas kleiner als 0 heraus. Jetz können wir für x=1 in die Ausgangsfunktion einsetzen, um den Funktionswert, als den y-Wert des Extremums zu bestimmen. Deshalb müssen wir hier rechnen f(1)=4×1×e^-1. Und das kann ich noch ein bisschen umformen. Und zwar ist es glaube ich 4÷e, kann man schreiben. e^-1 bedeutet ja 1÷e. Wenn man das mit 4 multipliziert, kommt das so raus. Falls man einen Näherungswert angeben soll, kann man das ja hier noch machen. Ich mache es jetzt nicht. Mir reicht die Zahl so. 4÷e ist der Funktionswert beim Maximum. Und dann kann man das vielleicht so aufschreiben. Ich weiß, manchmal schreibt man das Maximum so mit den Koordinaten (1|4÷e) oder so. Oder auch Näherungswert angeben. Oder, keine Ahnung. Da gibts viele Bezeichnungen. Musst du selber wissen, wie du das aufschreiben sollst. Oder frag den Mathelehrer deines Vertrauens.  Mit den Wendepunkten mache ich im zweiten Teil weiter. Extrempunkte sind hier abgeschlossen. Denn wir hatten nur eine einzige Nullstelle der ersten Ableitung. Muss man sich auch noch kurz überlegen. Keine weiteren Nullstellen. Das heißt es gibt keine weiteren Extrema. Und damit haben wir den Punkt hier erledigt. Viel Spaß damit, tschüs.

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