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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=4xe^(-x) (1)

Hallo, es geht um eine Kurvendiskussion einer e-Funktion, ich möchte mal die zentralen Punkte hier behandeln. Das ist also Symmetrie und Achsenschnittpunkte. Achsenschnittpunkte kann man auch sagen Nullstellen und Schnittpunkte der y-Achse. Extrempunkte, Wendepunkte und Verhalten im Unendlichen bzw. Verhalten für betragsmäßig große X. Oder so wie das hier geschrieben ist, müsste man sagen: Verhalten für Betrag von X gegen Unendlich. Das heißt also, für große positive Werte und für sehr kleine, negative Werte wollen wir uns das Verhalten der Funktionswerte angucken. Was jetzt hier nicht steht, ist, dass man den Graph zeichnen sollte und vielleicht noch Definitionsbereich und Wertebereich. Weil das nicht immer gemacht wird, lass ich das jetzt hier nur nebenbei einfließen und nehme mal die Punkte die in jeder Kurvendiskussion dann unbedingt vorkommen müssen. Hier wollte ich noch sagen, oft treten auch noch so Asymptoten auf, wenn man das Verhalten für X gegen Unendlich kennt. Für X gegen Plus oder Minus oder ähnliches erkennt man auch das asymptotische Verhalten, komm ich später noch dazu. Um welche Funktion geht es, es geht um 4x·e^-x. Wenn man den Definitionsbereich mit behandeln soll, dann müsste man das immer am Anfang machen, wäre ja schlau, damit man weiß, wo das Ding überhaupt definiert ist. Hier bei den e-Funktionen ist das nicht ganz so interessant, deshalb wird das häufig auch weggelassen in den Schulbüchern, weil diese e-Funktionen in der Regel auf ganz R definiert sind, das heißt, man kann jede reelle Zahl einsetzen hier in den Funktionsterm und erhält einen Funktionswert. Schreibe ich nur nebenbei jetzt noch mal dahin. Symmetrie bedeutet im konkreten Fall, dass, wie es meistens gemacht wird, man guckt nach der Achsensymmetrie und die Achse ist dabei die y-Achse. Es gibt auch andere Symmetrien, andere Achsensymmetrien zu anderen Achsen, mache ich jetzt hier aber nicht vor. Das ist die Definition ganz allgemein für Achsensymmetrie. Das bedeutet, wenn diese Gleichung hier für alle X des Definitionsbereiches richtig ist, dann ist die Funktion achsensymmetrisch. Das ist ein bisschen anderer Vorgang, als wie du das vielleicht sonst von Gleichungen gewohnt bist. Oft, wenn du eine Gleichung hast, guckst du, was muss ich für X einsetzen, damit die Gleichung richtig ist. Und dann kommt dann eine Zahl raus oder auch 2 oder 3 Zahlen. Hier müssen wir gucken, gilt diese Gleichung bzw. diese Gleichung, die dann entsteht, wenn ich hier den Term konkret einsetze, gilt die für alle X? Also kann ich jede Zahl für X einsetzen und ist dann die Gleichung immer richtig. Konkret heißt das dann, ich schreibe f(x) hin, f(x) ist ja das hier, und setze es gleich f(-x). Das bedeutet, ich muss nun den Term abschreiben mit dem Unterschied, dass ich jetzt für x jeweils -x hinschreibe und ich mache es ein Mal jetzt ganz überdeutlich. Dieses Minuszeichen hier schreibe ich ab und für dieses x, was hier steht, setze ich jetzt -x ein. Das heißt, hier steht dann in Klammern -x. Du kannst dir das bitte einmal überlegen, dass eben dieses Minuszeichen nicht das Minuszeichen ist, ok. Und wirklich nur für das x wird -x eingesetzt, dann stehen hier 2 Minuszeichen und so lässt man das natürlich nicht stehen. Minus minus x ist ja plus x. Von daher steht da jetzt einfach ex. So, wenn diese Gleichung für alle X richtig ist, dann ist die Funktion achsensymmetrisch bzw. ich müsste genauer sagen "richtig wäre", sie ist ja nicht für alle X richtig. Und das kann man jetzt entweder so stehen lassen und sagen "ja, sieht man ja, dass das nicht stimmt", ich hab das so in Lehrbüchern gesehen. Ich find das eigentlich nicht gut, denn das hat nichts mit Mathematik zu tun. Dann zu sagen, ist ja nicht für alle X richtig, sehe ich so. Also, Mathematik ist ja auch, dass man das dann auch nachweist. Ist hier aber eigentlich auch kein so großes Problem, ich kann die Gleichung ein bisschen verändern, ich kann z. B. durch 4x teilen. Da muss dann natürlich Voraussetzung sein, dass X?0 ist, sonst kann man ja nicht durch X teilen. Macht hier aber nichts, denn, also man könnte auch sagen, ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x?0. Uns geht es ja darum, dass diese Gleichung hier für alle X richtig sein soll. Wenn wir also hier ein X ausschließen oder eine Zahl für X ausschließen, dann bereitet das erst dann Probleme, wenn diese Gleichung hier für alle anderen richtig wäre, dann müssten wir hinterher noch mal gucken, ist diese Gleichung denn für x=0 dann auch noch richtig. Aber es wird darauf hinauslaufen, dass diese Gleichung für alle anderen X, also für alle x?0 sowieso nicht richtig ist und von daher ist das hier dann also keine Beschränkung der Allgemeinheit. So, wenn man jetzt durch 4x teilt, ja dann kann man 4x hier kürzen, dann haben wir hier noch e^-x stehen. ex steht da. Dann darf ich noch mit ex multiplizieren. Ja, e^-x bedeutet ja, 1÷ex. Ja, das ist ja hier gleich. Ich schreib es noch mal kurz hin. Das ist 1÷ex. Negative Exponenten, hast du mal gemacht, hier kommen sie wieder. Wenn man jetzt mit ex multipliziert, dann steht hier noch eine 1 und hier steht dann -e2x, ja wie komm ich darauf. ex·ex=e2x. Ja, vielleicht kennst du das Potenzgesetz noch, wie sieht das aus, muss ich mal eben überlegen. Wenn wir an haben mal am ist das gleich an+m. Ich glaub so steht es meistens in den Büchern, das ist das Potenzgesetz, was ich hier angewendet habe. Nur mal so eine kleine Zurückschau eben. Du siehst, ich mach das hier jetzt relativ ausfühlrich, es kommen noch andere Kurvendiskussionen, da mach ich das nicht so ausführlich. Du kannst ja auch, wenn dir das zu langweilig ist, ein bisschen weiterspringen immer im Film. Du musst dir nicht alles von vorne bis hinten hier anhören. So, jetzt kommt großes Finale. Wir wissen, e2x>0 für alle X. Darf man so verwenden, hast du mal behandelt, als du mit den e-Funktionen angefangen hast, muss man hier nicht weiter begründen. Damit ist -e2x>0, damit ist das also nicht gleich 1 und damit gilt diese Gleichung nicht für alle X, die ungleich 0 sind. Wir haben das ja hier vorausgesetzt, dass X?0 soll. Also ist diese Funktion nicht achsensymmetrisch. War jetzt die sehr ausführliche Erklärung dafür, normalerweise kann man das etwas schneller machen.  Ich zeig das hier jetzt mal für die Punktsymmetrie ein bisschen in zack, zack. Wir haben f(x)=-f(-x). Das ist die Punktsymmetrie zum Nullpunkt, zum Ursprung des Koordinatensystems. Es gibt auch andere Punktsymmetrien zu anderen Punkten, meistens wird aber nur die zum Nullpunkt behandelt und deshalb mache ich das hier auch. Das bedeutet, ich darf jetzt einfach hier den Term wieder abschreiben. Also 4xe^-x und dann diese Minuszeichen hier entsprechend setzen. Also ein Mal das Minuszeichen von hier schreib ich ab. Dann hab ich -4·(-x)ex. Das heißt, wir haben hier also dann stehen auf der anderen Seite: minus mal minus ist plus, also hier steht 4x, ok. Ich teile jetzt durch 4x, x soll ungleich 0 sein wieder. Dann steht hier e^-x=ex und auch da könnte man jetzt noch, weiß ich nicht. Oder ist es fertig? Ich multipliziere noch mit ex, dann steht hier 1=e2x und wie wir wissen, ist e2x nicht überall gleich 1, das heißt, diese Gleichung gilt nicht für alle X. Auch hier gilt wieder bei der Punktsymmetrie: Wenn die Funktion punktsymmetrisch sein sollte, muss diese Gleichung für alle X gelten. Sie gilt nicht für alle X. Damit ist sie nicht punktsymmetrisch und damit ist der Fall hier gegessen. Du hättest auch hier vielleicht aufhören können. Da solltest du vielleicht deinen Lehrer noch mal fragen, wie du das genau machen sollst, wie genau er das haben will oder sie, deine Lehrerin. Das ist immer von Pädagoge zu Pädagoge verschieden. So, das wars zur Symmetrie, dieses Ding ist also nicht symmetrisch. Die anderen Sachen kommen im 2. Teil, bis dahin. Viel Spaß, tschüss.      

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