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Transkript Exponentialfunktionen – Halbwertszeit

Hallo, wir haben den Begriff "Halbwertszeit" Dieser bezieht sich auf Exponentialfunktionen und dazu habe ich schon einmal eine lustige Kurve hier hin gemalt- ein Graph einer Exponentialfunktion, welcher auch immer. Wir wissen schon über exponentiell abnehmende Größen, dass sie in gleichen Zeitabschnitten immer um denselben Faktor abnehmen. Das Umgekehrte ist aber auch richtig: Die Abnahme um einen bestimmten Faktor vollzieht sich immer in gleichen Zeitabschnitten. Das bedeutet, wenn wir uns eine mathematische Größe vorstellen, die abnimmt dann könnten wir uns fragen: Wie lange dauert es, bis die Größe halbiert ist? Also der Faktor, um den die Größe abnimmt, ist dann ½ . Das möchte ich hier nun zeigen, wie das rein grafisch funktioniert: Ich nehme hier zum Beispiel einen Funktionswert. Ich kann jetzt gucken, wo die Hälfte ist. Die Hälfte dieses Funktionswertes ist dann ungefähr hier und der Abstand von da bis da, soll t heißen- also der Abstand der beiden x-Werte. In dieser Zeit hat sich diese Größe hier halbiert. Jetzt gehe ich irgendwo anders hin, zum Beispiel hier und gehe mal um den gleichen Schritt t weiter. Hier! Das ist wieder t. Das. Von da bis da. Dann ist auch richtig, dass sich die exponential fallende Größe von hier bis dort halbiert hat. Das kommt auch ungefähr hin. Dafür, dass ich das einfach mal aus der Hand gezeichnet habe, passt das ungefähr. Ich kann diesen Zeitabschnitt überall hinsetzen und überall werde ich feststellen, von hier bis dort, halbieren sich diese Funktionswerte bzw. die exponentiell abnehmende Größe.   Wie kriegt man so was heraus? Wenn man jetzt eine Exponentialfunktion hat - also in welcher Zeit sich die Größe halbiert. Dazu möchte ich Folgendes zeigen, denn das ist schnell gemacht: Mal angenommen, durch diesen Funktionsterm hier: b×ax wird eine fallende Größe beschrieben. Dann könnten wir uns überlegen, was passiert, wenn die Zeit weiter fortgerückt ist und das möchte ich einmal t0,5 nennen. Wir haben hier also einen Funktionsterm- die Gleichung ist noch nicht richtig. Also noch mal zurück zum Funktionsterm: Ich möchte jetzt nicht wissen, was bei x ist, sondern was ist bei x+t0,5  -  t0,5 soll die Halbwertszeit sein, also dieses t hier ungefähr.

Um das jetzt richtig zu machen, muss ich nun noch ½ dazuschreiben. Dann passt es. Ich möchte also wissen, um welche Zeit ich fortschreiten muss, damit sich hier eine bestimmte Größe halbiert. Das kann man so aufschreiben. Dann kann ich wieder die Potenzrechnung anwenden, indem ich nämlich hier statt ax+t0,5, ax×at0,5 schreibe oder t½, meistens heißt es t½, zumindest glaube ich das, aber das ist egal. Wenn ich hier jetzt auf beiden Seiten durch b und durch ax teile, dann erhalte ich Folgendes:

Nämlich ½, hier kommt natürlich das Gleiche hin,

½=at0,5  und das at0,5 ist die Halbwertszeit einer solchen Funktion. Du siehst, ich kann das ganz allgemein hinschreiben und ausrechnen, dies übrigens unabhängig vom Anfangswert und unabhängig von dem b, was da steht.

  Ich glaube, damit ist der Begriff so weit formal geklärt.   Warum benutzt man den überhaupt? Warum benutzt man Halbwertszeiten?

Vielleicht kennst du das aus dem radioaktiven Zerfall, also wenn etwas radioaktiv strahlt, dann hat diese Strahlung zur Folge, dass dieses Material zerfällt und wenn man so einen Prozess beschreiben möchte - Radioaktivität kann ja gefährlich sein, man möchte nun Menschen mitteilen, wie lange das strahlt und wann die Strahlen nicht mehr gefährlich sind und sonstiges- dann könnte man eine Exponentialfunktion angeben und das a angeben und z. B. sagen, dass a = 0,99783 ist. Das ist jedoch relativ unanschaulich.

Wenn man die Halbwertszeit angibt, also die Zeit, in der nur noch die Hälfte der Zeit der heutigen Strahlung vorhanden ist, dann kann man das relativ einfach sagen. Das wären dann, bei dem, was ich gesagt habe vielleicht 900, 950 Jahre. Wenn ich aber sage: Die Halbwertszeit ist 900 Jahre. Dann habe ich als Normalbürger eine konkrete Vorstellung- dann weiß ich Bescheid und das ist viel anschaulicher, als eine Basis der Exponentialfunktion anzugeben und ich glaube, dass das der Grund ist, warum sich diese Halbwertszeit als Begriff so gut durchgesetzt hat.

  Viel Spaß damit. Tschüss.

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