Exponentialfunktionen - Eigenschaft 2

Hallo!
Eine weitere Eigenschaft von Exponentialfunktionen ist dir hoffentlich aufgefallen, als du die Funktionsgraphen gezeichnet hast. Ich mache mal hier so provisorisch ein Koordinatensystem. Entweder die Funktion sah so aus, ja, oder sie sah so aus, richtig? Ich hoffe, du bist zu dem gleichen Ergebnis gekommen. Die liefen alle immer hier so durch, ja? Und hier ist der Punkt 0I1, da. Und das legt natürlich die Vermutung nahe, dass alle Funktionsgraphen der Funktionen mit der Form a^x durch den Punkt 0I1 verlaufen, 0I1. Also 0 auf der x-Achse, 1 auf der y-Achse.
Diese Vermutung ist richtig! Und zwar, ja, ich muss es erst mal aufschreiben ... Ich werde jetzt nicht aufschreiben, alle Funktionen der Form a^x verlaufen oder gehen durch den Punkt 0/1, ich werde das ein bisschen, ja, gestelzter aufschreiben. Und zwar: Der Punkt 0I1 ist Element des Graphen, das ist G mit dem Doppelstrich, das ist der Graph der Funktion f. Auch so kann man das aufschreiben. Das mache ich jetzt nur mal zum Spaß, damit du auch diese Formulierung mal siehst. Bedeutet nichts anderes, als dass die Funktion durch den Punkt 0I1 geht. Der Graph besteht ja quasi aus allen Punkten hier, die man da so eingezeichnet hat. Der Graph ist eine Punktemenge, von daher kann man eben sagen, dass dieser Punkt - das sind ja nicht zwei Zahlen, sondern diese zwei Zahlen bezeichnen einen Punkt. Das ist ein Punkt, der ist Element dieser Punktemenge, kann man auch so sagen. Okay.
Warum ist das der Fall? Weil es so definiert ist, denn wir haben a^0 = 1. Wenn wir also hier die Funktion a^x haben, dann setzen wir für x 0 ein und das Ergebnis ist immer 1, weil es so definiert ist. Das ist vielleicht für manche Leute enttäuschend. Ich mache diese beiden Punkte hierhin, schreibe sie dahin, meine ich, weil daraus hervorgeht, dass diese 1 hier definiert ist. Ja, sie folgt nicht aus irgendwas oder so, sondern sie ist definiert. Es ist vernünftig, das so zu definieren, bzw. man könnte auch sich andere Möglichkeiten überlegen, wie man a^0 definieren kann, aber alles weist halt darauf hin, dass das nun wirklich die vernünftigste Definition ist und alles andere, naja, sagen wir mal eher Unsinn ist. Es gibt auch nicht eine zweitvernünftigste, das andere alle funktioniert nicht.
Ich habe auch in den ersten Beispielen Funktionen betrachtet und x-Werte betrachtet, die hier so in der Nähe sind. x-Werte, die in der Nähe von 0 sind, Funktionswerte, die in der Nähe von 1 sind. Und da haben wir auch gesehen, dass diese Funktionen sich ja hier, also dass der Graph der Funktion sich tatsächlich immer dem Punkt 0I1 annähert. Von daher, wenn man jetzt a^0 anders definieren würde, hätte man ja hier auch dann so eine Sprungstelle da drin. Also, viele Schüler sagen mir auch, a^0 müsste doch 0 sein. Da würde der Graph ja dann hier so verlaufen und da ist die Sprungstelle zu 0 und dann geht er hier wieder weiter. Da kann man von halten, was man will, auf jeden Fall ist diese Sprungstelle, ja, nicht so dolle, die würde Probleme machen. Und wenn man den Graph so durchzeichnen kann, ist das doch viel besser. Nur eine von vielen, vielen Überlegungen, warum a^0 sinnvollerweise gleich 1 ist.
Und damit soll es für diese Eigenschaft gut sein. Viel Spaß damit. Tschüss!