Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Exponentialfunktionen – Eigenschaft (1)

Hallo!

Exponentialfunktionen haben Eigenschaften - wer hätte das gedacht? Zum Beispiel haben die Exponentialfunktionen, deren Basis zwischen 0 und 1 liegt ... (Also das steht hier: 0<a<1. Das bedeutet, a liegt zwischen 0 und 1.) Dann folgt für diese Exponentialfunktion der Form ax, dass diese Funktion streng monoton fallend ist. Da sage ich gleich etwas dazu. Zunächst aber diese Eigenschaft, für die Funktionen bei denen die Basis größer als 1 ist. (Hier steht, dass a>1.) Daraus folgt: f(x)=ax, also eine Exponentialfunktion der Form ax, ist dann streng monoton steigend.   Jetzt kommt die Erklärung dazu: Einmal "Was bedeutet streng monoton steigend?" und "Warum können wir sicher sein, dass das dann alles wirklich sich auch so verhält?"   Zunächst mal können wir uns überlegen: "Was bedeutet streng monoton steigend?" Ich habe eine x-Achse. Hier ist ein x, zum Beispiel. Und wenn eine Funktion streng monoton steigend ist, dann steigt sie von links nach rechts irgendwie an. So zum Beispiel. Sie steigt. Ich zeichne keine y-Achse ein. Es ist mir auch völlig egal, wo die jetzt ist. Es geht nur darum, dass von links nach rechts (gesehen von dir aus natürlich immer) die Funktion größer wird. Das bedeutet "streng monoton steigend". Warum heißt das "streng"? Weil die Funktion hier tatsächlich größer wird. "Monoton steigend", oder "nicht streng monoton steigend", würde auch einschließen, dass die Funktion gleich bleibt. Also, sie steigt so ein bisschen an, vielleicht, dann bleibt sie gleich, macht so ein Päuschen, wieder ein bisschen höher, vielleicht noch mal ein Päuschen, und so. Das wäre dann nur "monoton steigend". Aber für solche Exponentialfunktionen gilt halt: Falls a größer als 1 ist, dann ist diese Funktion tatsächlich streng monoton steigend. Und damit wir das jetzt hier ein bisschen genauer formulieren können - damit wir das auch begründen können, dass das so ist - brauchen wir eben eine bessere Formulierung statt einfach nur "geht so hoch". Man stellt sich Folgendes vor: Wir haben hier ein x, und hier einen weiteren Punkt auf der x-Achse, der soll heißen x+d. d ist irgendeine positive Zahl. Damit liegt x+d rechts von x. "Streng monoton steigend" bedeutet jetzt, dass der Funktionswert an dieser Stelle ... Hier also. Hier ist f(x+d) und hier ist f(x). Dieser Funktionswert hier muss nun größer sein, als der andere Funktionswert. Das heißt "streng monoton steigend".   So, und da kann ich auch gleich weiterschreiben. Wie praktisch. Wenn wir das jetzt hier übersetzen, in die Exponentialfunktion - ich nehme mal an, das hier sind jetzt Exponentialfunktionen. Dann sieht das also so aus: f(x) soll also eine Exponentialfunktion der Form ax sein. Und dann sieht f(x+d) so aus: Statt x steht jetzt hier x+d, also muss ich schreiben ax+d. Das hier bedeutet das einfach.   Nun, was kann ich jetzt damit machen? Wir erinnern uns an die Potenzgesetze. Ich darf vielleicht noch mal eins hinschreiben. Potenzgesetz ... Was haben wir da? a ... (Ich nehme mal was anderes. Ich nehme mal b jetzt, sonst haben wir das a schon verbraten.) bm+n Was bedeutet das? Das bedeutet bm×bn. Aus dem Pluszeichen hier im Nenner wird quasi hier das Multiplikationszeichen. Diese Regel, dieses Potenzgesetz, erkläre ich jetzt nicht weiter. Das habe ich in den Filmen mit den Potenzgesetzen gemacht. Das können wir jetzt einfach so verwenden. Und zwar können wir das auf diesen Term hier anwenden, auf ax+d. So können wir also hier weiter folgern: ax schreibe ich ab - das soll jetzt kleiner sein als ax×ad. Wenn das stimmt, dann stimmt der ganze Rest hier auch. Aber stimmt das denn hier? Unter welchen Bedingungen ist ax tatsächlich kleiner als ax×ad? Es ist dann der Fall, wenn ad größer als 1 ist. Und das möchte ich einfach mal an einem Beispiel zeigen, ob das wirklich so ist. Ich nehme mal hier ein Beispiel: (Das soll jetzt hier mal abgetrennt werden.) Wenn ich jetzt für a ... ich sage mal 10 einsetze, und für d 3. Dann ist das klar, dass ad größer als 1 ist. Also 103 ist 1000, und 1000 ist größer als 1. Okay, das ist ein schlechtes Beispiel. Ich versuche mal ein bisschen Prägnanteres zu nehmen, und zwar könnte ich ja für a eine Zahl einsetzen, die so in der Nähe von 1 ist. Ich nehme mal 1,21 - ist in der Nähe von 1. Für d ist nichts weiter gesagt, es muss nur +d (d positiv) sein. (Hätte ich vielleicht hier noch hinschreiben können, aber ich glaube es ist auch klar. d muss irgendwie positiv sein.) Ich nehme mal ½. d soll ½ sein, dann steht hier also ... (Ach, das ist jetzt aber doof geworden. Ich muss das anders machen.) Also, 1,21^½ - so, laut und deutlich, kann man das auch hinschreiben. 1,21^½. Ist das denn zum Beispiel größer als 1? Nun, 1,21^½ bedeutet ja die Wurzel (\sqrt) aus 1,21. Und ich habe natürlich diese Zahl gewählt, weil ich da die Wurzel direkt ausrechnen kann: \sqrt121 ist ja 11, und daher kommt hier jetzt 1,1 heraus. 1,1 ist größer als 1, klar. Und vielleicht erinnerst du dich was du bei den Wurzeln gemacht hast. Da hast du gelernt, dass die Wurzel einer Zahl, die größer als 1 ist, ebenfalls größer als 1 ist. Das gilt nicht nur für die Quadratwurzel, sondern auch für die 3., die 4., 5., 6., und so weiter, Wurzel aus einer Zahl, die größer als 1 ist, ist ebenfalls wieder größer als 1. Anders geht es nicht. Und deshalb können wir also davon überzeugt sein, ad ist tatsächlich größer als 1, weil a größer als 1 ist. Und selbst wenn wir für d etwas einsetzen, was kleiner als 1 ist, dann können wir das immer durch einen Bruch hier annähern. Durch ½, 1/3, ¼, und so weiter. Und dann ziehen wir quasi die Wurzel aus a - die 2., 3., 4., 5. Wurzel ziehen wir aus a. Und die ist immer größer als 1.   Ich habe so ein bisschen gepfuscht mit dem Annähern durch einen Bruch, aber ... Man könnte das noch mit einer Grenzwertbetrachtung machen, und so weiter ... Mache ich jetzt alles nicht. Ich glaube, die Sache ist klar geworden. Als Begründung kann das hier einfach mal so ausreichen, glaube ich. Und damit haben wir gesehen, dass diese Eigenschaft hier, oder die, tatsächlich erfüllt ist, falls a>1 ist. Dann ist ax streng monoton wachsend.   Kommen wir zu der anderen Geschichte hier. Und zwar falls a zwischen 0 und 1 liegt, dann ist die Funktion ax streng monoton fallend. Und wie kriegen wir das hin? Ich darf mich hier vielleicht kurzfassen, zur Definition von "streng monoton fallend". Da muss hier jetzt einfach ein Größerzeichen (>) hin. Okay? Wenn jetzt hier die Funktion fällt, dann geht sie ja so herum, dann ist dann f(x) größer als f(x+d). In unserem Fall heißt das, dass ax größer sein muss als ax+d. Und da ich das hier schon sehr wortreich begründet habe, möchte ich vielleicht einfach nur noch direkt ein Beispiel anführen. Nein, ich muss es einmal umschreiben. Also, ich mache die gleiche Umformung wie hier: ax soll größer sein als ax×ad. Das ist dann der Fall, wenn ad kleiner als 1 ist. Na ja, dann versuchen wir uns mal vorzustellen, wie das denn hinkommen kann. Ich nehme mal eine Zahl, die in der Nähe von 1 ist - zum Beispiel 0,81. 0,81 liegt zischen 0 und 1, ist aber mehr so in Richtung 1. Und ich möchte mal für d wieder ½ einsetzen. Nur mal so als Beispiel. Da ist die Frage jetzt, ist 0,81^½ kleiner als 1? Na ja, "^½" bedeutet "\sqrt", und \sqrt81=9. Und \sqrt0,81=0,9. Also auch hier können wir sehen, ad ist tatsächlich in diesem Fall hier kleiner als 1. Und jetzt könnte man ja auf den Trichter kommen, "Na ja, was passiert denn, wenn ich eine Zahl nehme, die nahe bei 1 ist - sage ich mal 0,9 - und ich potenziere nicht mit etwas Kleinem, sondern etwas Großem? Zum Beispiel mit 10, oder so etwas. Wird das dann nicht größer?" Nein, wird es nicht. Wenn ich 0,9×0,9 rechne, dann wird das kleiner. 0,9×0,9=0,81, zum Beispiel. Und dann wieder ×0,9 wird noch kleiner. Es wird immer kleiner, je größer der Exponent wird. Also damit komme ich auch nicht über 1. Das heißt, wir haben jetzt hier eine beispielhafte, etwas anschauliche Erklärung dafür, dass ad tatsächlich kleiner als 1 ist. Damit ist also richtig, dass ax größer ist als ax×ad. Und damit können wir also beruhigt davon ausgehen, dass dieser Satz hier richtig ist. ax ist, falls a zwischen 0 und 1 liegt, streng monoton fallend.   Das war's. Viel Spaß damit! Tschüss!

Informationen zum Video