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Transkript Exponentialfunktionen – Bevölkerungswachstum

Hi und willkommen zu meinem Übungsvideo über Exponentialfunktionen. Ihr solltet die ganzen Basics schon draufhaben, weil ich sehr schnell rechnen werde und nur wenig erkläre. Alles klar, dann fangen wir gleich mal an. Auf der Erde leben ca. 6 Mrd. Menschen. 6 Mrd. sind auch gleich 6×109. 109 ist einfach 1 Mrd., eine 1 mit 9 Nullen und mal 6, also 6 Mrd. Die Wachstumsrate der Erdbevölkerung beläuft sich auf 1,7% pro Jahr. Also, stellen wir das Ganze als Exponentialfunktion dar. f(x)=6×109×1,017x. Also, das heißt 101,7%, weil im nächsten Jahr werden es ja mehr. Und das Ganze hoch x in Jahren. Ok, kommen wir zur Aufgabe a): Wie viele Menschen lebten auf der Erde vor 20 Jahren? Vor 20 Jahren bedeutet x=-20. Wir wollen also f(-20) bestimmen. Und das sind =6 Mrd.×1,017^-20. Und wenn ihr das in eueren Taschenrechner eingebt, erhaltet ihr 4,28 Mrd. Ich schreibe übrigens deshalb 109, anstatt 9 Nullen zu schreiben, weil wenn man oft mit dem Taschenrechner arbeitet, vertippt man sich leicht ab 6 Nullen. Und bei 109 kann man fast keinen Fehler machen. Okay, kommen wir zur Aufgabe b). In wie vielen Jahren werden 10 Mrd. Menschen auf der Erde leben? Wir setzen die Funktion also mit 10 Mrd. gleich. 10×109. Ist übrigens auch gleich 1010. Gut, dann erhalten wir folgende Gleichung: 10 Mrd.=6 Mrd. × der Wachstumsrate. Jetzt kürzen wir das Mrd. weg, also ich sage kürzen, das heißt wir teilen auf beiden Seiten durch Mrd. Jetzt wollen wir die 6 noch rüber bekommen. So und jetzt bilde ich den Logarithmus auf beiden Seiten. Ich nehme mal den Logarithmus mit der Basis 10, wobei es eigentlich egal ist, welche Basis benutzt wird. So, auf der rechten Seite, ich schreibe das noch mal mit Doppelklammer, um das ein bisschen deutlicher zu machen, benutzen wir jetzt die Potenzgesetze. Aus hoch wird mal. So, die linke Seite schreiben wir hier noch ab. Und um das Ganze nach x aufzulösen, müssen wir nur noch durch den Logarithmus von 1,017 teilen. Wenn ich Logarithmus sage, meine ich natürlich den Logarithmus zur Basis 10. So, alles klar, damit sind wir schon fast fertig. Jetzt müssen wir nur noch das in den Taschenrechner eingeben und heraus bekommen wir dann ungefähr 30,3 Jahre. Das bedeutet in 31 Jahren, vorrausgesetzt diese Funktion bleibt aktuell, hätten wir eine Weltbevölkerung von 10 Mrd. Menschen. Gut, anhand dieser Funktion wollen wir jetzt ausrechnen, wann Adam und Eva lebten, d. h. wann die Weltbevölkerung bei nur 2 Menschen lag. Damit setzen wir die Funktion=2. Gut, jetzt dadurch teilen, geteilt durch 6 Mrd. also, gleiches Spiel wie eben, den Logarithmus bilden auf beiden Seiten, dann kann man noch ein bisschen kürzen, ist aber eigentlich nicht nötig. Und jetzt benutzen wir wieder die Logarithmusgesetze, oder auch die Potenzgesetze. Aus hoch wird mal. Das bedeutet also, der Logarithmus von 1÷3Mrd.=x × der Logarithmus von 1,017. Wie immer: Logarithmus zur Basis 10. Gut, jetzt teilen wir noch hier durch und eingegeben in den Taschenrechner wären das ungefähr -1,294. Also vor 1294 Jahren würden Adam und Eva leben. Kann ja nicht ganz stimmen, denn diese Exponentialfunktion mag vielleicht jetzt aktuell sein, aber vor 500 Jahren sah das Ganze noch anders aus, da war die Sterblichkeitsrate noch viel höher und pipapo. Alles klar, kommen wir zur nächsten Aufgabe: Bei genügend Zahnbelag verdoppelt sich die Anzahl aller schädlicher Bakterien im Mund, und das alle 20 Minuten. Gib als Exponentialfunktion an, wie sich ein Bakterium pro Stunde vervielfacht. Machen wir das mal. Okay, wenn es sich alle 20 Minuten verdoppelt, was passiert dann in einer Stunde? Eine Stunde hat ja 3×20min. D. h. in einer Stunde verdoppelt es sich, dann vervierfacht es sich und in 60min verachtfacht es sich, bzw. es ver-23-facht sich, weil eine Stunde 3×20min hat. Unsere Funktion sieht daher so aus: f(x)=1×8x. Als Grundmenge haben wir ein Bakterium und jede Stunde verachtfacht sich jedes Bakterium. Alles klar, kommen wir zu den eigentlichen Aufgaben. Aufgabe a): Wenn man sich abends nicht die Zähne putzt, wie viel % der ursprünglichen Bakterien hat man nach 9 Stunden Schlaf im Mund? Aufgabe b): Wie viele Stunden dauert es, bis sich die Anzahl der Bakterien versechzehnfacht hat? Fangen wir an mit Aufgabe a). Wir suchen f(9). Das bedeutet wir setzen einfach 9 für x ein. 134217728-verfacht sich das Ganze und das heißt, wir hätten ungefähr 13,4 Mrd.% der ursprünglichen Bakterien im Mund. Aber nur, wenn so viel Zahnbelag da ist, dass sie sich ständig duplizieren können und sich nicht gegenseitig den Platz nehmen, wäre es möglich. Also in einem für die Bakterien perfekten Bereich. Okay, Aufgabe b). Wir wollen also rauskriegen, wann sich die Anzahl der Bakterien versechzehnfacht hat. Wir haben ja ein Bakterium am Anfang. D. h.: Wann wird f(x)=16? 16 sind also 8x und jetzt bilde ich den Logarithmus daraus. Aber weil wir hier 16 und da die 8 haben, bilde ich den Logarithmus zur Basis 2. Kann man auch einfach als ld schreiben, Logarithmus Dualis. Und ld(16)=ld(8x). Jetzt verwenden wir wieder die Potenzgesetze, bzw. die Logarithmusgesetze, aus hoch wird mal. So, jetzt können wir nochmal überlegen: Womit müssen wir 2 hoch nehmen, damit wir 16 erhalten? D.h. wir müssen haben: 21=2, 22=4, 23=8 und24=16. Also der Logarithmus von 16 zur Basis 2 ist 4. Okay. Das hatten wir auch gerade gelöst, wir müssen 21 nehmen=2, 22=4, 23=8. Und das bedeutet x=4/3=1 1/3. Und das bedeutet nach einer Stunde und 20min versechzehnfacht sich die Anzahl der Bakterien im Mund. Das ist sogar noch möglich, dafür müssen perfekte Umgebungen für die Bakterien geschaffen sein, aber das könnte schon passieren.      

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