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Transkript Exponentialfunktionen – Beispiel (4)

Hallo. Wir haben ein neues Beispiel einer Exponentialfunktion, und zwar die Funktion f(x)=(½)x. Auch ½ darf man als Basis verwenden, das ist eine ganz normale Basis wie du und ich. Niemand hat gesagt, das Basen von Exponentialfunktionen immer ganzzahlig sein müssen. Im Übrigen: Auch dafür braucht ihr den Taschenrechner nicht. Weg damit.  Wir machen eine Wertetabelle, und zwar haben wir hier x und y. Wir können uns jetzt Folgendes überlegen: Was passiert, wenn man für x=0 einsetzt. (½)0=1. Das erkläre ich nicht weiter, das habe ich schon öfter erklärt, jetzt nicht noch mal an dieser Stelle. (½)0=1, auch wenn ½ tatsächlich kleiner als 1 ist, das macht nichts. Dann haben wir x=1, was bedeutet, das (½)1=½ ist. Ich schreibe das auf in Dezimalschreibweise, nämlich als 0,5. Dann geht es weiter mit x=2. (½)2 bedeutet ½×½, das kennst du aus der Bruchrechnung, das ist ¼, also hier 0,25. Wenn man für x=3 einsetzt, dann steht da 1/8, denn ½×½×½=1/8 und das ist 0,125 als Dezimalzahl. Rein zufällig habe ich hier schon einmal ein paar Punkte hingeschrieben, da kannst du direkt sehen, wie die Funktion hier verläuft. Ich darf das schon mal hier so anmalen, da verläuft die. Jetzt fehlt noch dieser negative Bereich hier. Da muss man vielleicht in bisschen mehr rechnen. Und zwar können für x=-1 einsetzen. Dann schreibe ich den Term, der dann entsteht, wenn man für x=-1 einsetzt einfach mal hin. Das ist dann (½)^-1 und das ist, wir wissen, Minus im Exponenten bedeutet immer 1 durch, das heißt wir haben hier 1/(½)1 und das ist 2. 1/(½)=2, mit dem Kehrwert malnehmen oder einfach überlegen, wie oft passt ½ in 1 rein, das ist 2 Mal. Damit ist der Funktionswert hier. Bitteschön. Als Nächstes kommt -2. Was passiert, wenn x=-2 ist? Da darf ich auch ein wenig ausholen. Wir haben (½)^-2 - ich verlasse jetzt hier den Strich, das macht nichts - das bedeutet 1/(½)2. (½)2=¼, 1/¼, auch hier elementare Bruchrechnung. Wie oft passt ¼ in 1 rein? 4 Mal. Also sind wir hier bei 4, da ist das Kreuz. Man sieht schon, man kann hier durchzeichnen, das geht so nach oben, steigt mächtig an. Normalerweise, wenn man sagt, steigt oder fällt die Funktion, guckt man immer auf der x-Achse von links nach rechts und dann fällt diese Funktion natürlich. Ich habe das so, weil ich das so gemalt habe, habe ich das so gesagt. So weit so gut. Eine winzig kleine Sache möchte ich noch zeigen, und zwar diese hier. Was ist mit den Funktionswerten hier zwischen 1 und 2? Was passiert, wenn ich für x=1,5 einsetze? Dann steht hier folgendes: (½)1,5. Was bedeutet das? 1,5 ist 3/2. Wir können, wenn wir solche Sache haben, das in den Taschenrechner eintippen, doch dann lernt man ja nichts. Wenn man Dezimalzahlen im Exponenten hat, dann übersetzt man die immer in Brüche, dann kann man nämlich vernünftig damit rechnen. 1,5=3/2, deshalb steht hier  (½)3/2. Das kann man ganz ausführlich so schreiben: (½)½×3, denn 3/2 ist ½×3 und aus der Potenzrechnung weißt du, dass man das jetzt folgendermaßen schreiben kann: ((½)^½)3. OK? Und es geht weiter: (½)^½=\sqrt(½), dass muss ich noch hoch 3 rechnen: (\sqrt(½))3. Wir gehen alle Rechengesetze durch, du siehst, die kommen alle wieder. Deshalb hast du die alle so schön geübt. Wurzel aus einem Bruch ist Wurzel aus Zähler geteilt durch Wurzel aus Nenner. Auch das kriegst du: (\sqrt(1)/\sqrt(2))3. Die Wurzel aus 1 ist 1 und die Wurzel aus 2 bleibt einfach, wie sie ist. Das geht jetzt hoch 3 und wir haben hier jetzt stehen: (1/\sqrt(2))3. Im Nenner haben wir \sqrt(2)×\sqrt(2)×\sqrt(2). \sqrt(2)×\sqrt(2)=2, also kann ich zwei Faktoren \sqrt(2) zu einer 2 zusammenfassen. Es bleibt übrig: 1/(2×\sqrt(2)). In dieser 2 steckt drin \sqrt(2)×\sqrt(2). Nachdem wir das also wissen, ist die Frage: Liegt denn dieser Wert hier, 1/(2×\sqrt(2)), tatsächlich hier dazwischen? Was wir dazu erkennen müssen, ist einfach, der Funktionswert hier bei 1 ist ½ und laut Kurve muss jetzt dieser Wert hier kleiner sein als ½ und das wiederum muss größer sein als ¼, das ist der Funktionswert bei 2. Dann können wir uns überlegen, ob das stimmt. Damit ½ > 1/(2×\sqrt(2)) muss 2 kleiner sein als 2×\sqrt(2). Das ist der Fall, einfach deshalb, weil \sqrt(2) > 1 ist. Wenn ich 2× etwas rechne, das größer als 1 ist, dann ist das größer als 2. Damit ist 2 < 2×\sqrt(2) und < 4. Wenn der Nenner kleiner ist als dieser Nenner, dann ist dieser Bruch größer als dieser Bruch. \sqrt(2) ist ungefähr 1,4, darf man ruhig im Kopf haben. 2×1,4=2,8, hier steht irgendwas mit 1/2,8, das ist selbstverständlich größer als ¼. Das kennst du aus der Bruchrechnung, das muss ich nicht weiter erklären - war eh schon sehr ausführlich. Damit haben wir auch geklärt, dass sich dieser Funktionswert dort befindet. Du siehst also auch, wenn man Brüche als Basis einsetzt, ist das alles kein Problem und du kannst es auch alles berechnen. Viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.                                                                                    

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