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Transkript Exponentialfunktionen – Beispiel (2)

Hallo, wir machen ein weiteres Beispiel zu Exponentialfunktionen, Beispiel Nr. 2. Wir haben die Exponentialfunktion f(x)=3x und damit du die vernünftig verstehen kannst, mache ich eine Wertetabelle, oben x, unten y. Und wir können einfach mal durchdenken, wie die Funktionswerte hier zustande kommen. Wenn man für x 0 einsetzt, haben wir hier 30, wie immer ist das 1, das wissen wir aus der Potenzrechnung. Dann können wir 1 einsetzen und für x 31, ist eben einfach 3, wir können auch 2 einsetzen für x, dann steht da 32, das ist 3×3=9, wissen wir auch aus der Potenzrechnung, bis dahin also überhaupt kein Problem. Wenn wir negative Werte einsetzen, z. B. die -1. 3^-1, ebenfalls Potenzrechnung, wissen wir, bedeutet 1÷31. 31=3,1÷3=1/3 und als Dezimalzahl ist das 0,333... Wenn wir -2 einsetzen, bedeutet das 3^-2=1÷32. 32=9, 1/9=0,111... Wenn man für x -3 einsetzt, dann haben wir 3^-3=1÷33, 33=27, 1÷27=0,037...Und das müsste man noch in ein Koordinatensystem bringen, das mache ich auch mal, das habe ich schon mal vorbereitet. Wenn ich für x 3 einsetze, haben wir 31, das ist 3. Wenn ich 2 einsetze, kann ich das schon nicht mehr zeichnen, ich habe stattdessen 0,5 eingesetzt und der ist dann hier, der Funktionswert. Dann haben wir 30, 3^-1, 3^-2 ist da und 3^-3 ist quasi schon ganz knapp über der x-Achse, das kann ich kaum noch zeichnen. So sieht das aus, die Kreuze und ich möchte ein bisschen mehr dazu erklären, nämlich: Was ist z. B. hier zwischen? Ich könnte, wie ich das im ersten Beispiel gemacht habe, hier einfach diese Kurve durchziehen, aber die Frage ist ja: Befinden sich die Funktionswerte, wenn ich für x 1/2 oder 1/3 einsetze, tatsächlich hier, oder sind die vielleicht ganz woanders? Wir müssen uns also dazu überlegen, was passiert, wenn ich 31/2 rechne, ich mache das jetzt ohne Wertetabelle. Ich kann 1/2 für x einsetzen, was kommt dann raus? Liegt das Ergebnis von 31/2 wirklich zwischen 1 und 3? 31/2 bedeutet \sqrt(3) und aus der Wurzelrechnung weißt du, eine Wurzel aus einer Zahl > 1 ist < die Zahl selber und > 1. Falls der Radikand, also das, was unter der Wurzel steht > 1 ist, dann ist die Wurzel ebenfalls > 1 und die Quadratwurzel ist < die Zahl selber. Wir bekommen ungefähr 1,73 raus, das ist eine irrationale Zahl, das ist ungefähr hier, da kann ich schon mal das Kreuz hin machen. Wir können uns jetzt fragen: Wenn ich 1/3 einsetze, liegt dann der Funktionswert auf der Kurve, ist er wirklich < der Funktionswert bei 1/2 und ist der Funktionswert auch noch > 1? Das male ich hier hin. 31/3, was bedeutet das, das ist die dritte Wurzel aus 3. Und auch da wissen wir wieder aus der Wurzelrechnung: Falls der Radikand > 1 ist, ist die 3. Wurzel < die 2. Wurzel, die 4. Wurzel ist < die 3. Wurzel, die 5. Wurzel ist < die 4. Wurzel, usw. Alle Wurzeln sind > 1, falls der Radikand > 1, ist, also auch die 2., 3., 4., 5.  Wurzel, alle > 1. 1,44 habe ich ungefähr ausgerechnet und das ist hier. Und wir sehen, es ergibt sich tatsächlich eine Kurve, die ich auch zeichnen werde. Also je weiter wir Funktionswerte in der Nähe von 0 einsetzen, desto näher kommen wir an 1 und desto kleiner werden die Funktionswerte. Damit nicht genug, es fehlen die negativen Funktionswerte und da möchte ich 2 von denen zeigen. Z.b. was passiert, wenn wir -1/2 einsetzen? Sind die Funktionswerte tatsächlich auf dieser Kurve, oder sind die wo anders? Was bedeutet 3^-1/2? Irgendwas hoch minus bedeutet immer 1÷..., d.h. wir haben 1÷31/2. Und das ist = 1÷\sqrt(3). 1÷\sqrt(3)=0,58. Das ist hier. Und den anderen Funktionswert bei 1/3 zeige ich auch noch und dann erkläre ich noch was dazu. 3^-1/3, was bedeutet das? Das bedeutet, wegen des Minuszeichens, 1÷ die dritte Wurzel aus 3. Als Ergebnis erhalten wir 0,69. Wir sehen, da ergibt sich auch eine Kurve. Aber wie kann man verstehen, dass diese Funktionswerte in diesem Intervall liegen und nicht woanders? Dazu muss man sich folgende Überlegung machen: Wir haben die 3. 3 > \sqrt(3). Das ist die 2. Wurzel, oder die Quadratwurzel, das ist das gleiche, das schreibt man normalerweise nicht. Die Quadratwurzel ist > die dritte Wurzel aus 3 und das ist alles > 1, das wissen wir aus der Wurzelrechnung und das können wir so verwenden. Jetzt haben wir jeweils negative Exponenten, das bedeutet, wir müssen rechnen 1÷...Und dann übersetze ich das so: Ich gucke auf 1/3, 1÷\sqrt(3), 1÷ 3.Wurzel aus 3 und auf 1/1, das bleibt 1. Jetzt ist die Frage: Müssen da > oder < dazwischen? Nun, wir wissen: Wenn 3 > \sqrt(3), dann ist 1/3 < als 1÷\sqrt(3). Weil dieser Nenner größer ist, als dieser, ist der Bruch kleiner, also gilt das. \sqrt(3) ist > als 3. Wurzel aus 3, damit ist auch dieser Bruch hier wieder kleiner, als der rechts stehende Bruch und der Bruch ist auch wieder kleiner als 1, dann wenn wir etwas haben, das größer ist als 1, dann ist 1÷ dieses etwas < 1. So und damit haben wir also den Funktionswert bei -1, das ist 1/3, das ist dort, der Funktionswert bei -1/2, der ist hier, der ist > als dieser Funktionswert bei -1, der Funktionswert bei -1/3, das ist hier, ist ebenfalls > der Funktionswert bei -1/2 und alle Funktionswerte sind < 1. Also befinden die sich wirklich hier in diesem Intervall. Und das male ich zuende, so verneigt sich diese Kurve, ich kann sie kaum noch zeichnen, das ist ganz nah an der x-Achse. Und damit haben wir also viel darüber gelernt, warum die Funktionswerte auf der Kurve liegen und warum die in solchen Intervallen liegen. Am Anfang der Exponentialfunktion darf man sich so etwas ruhig etwas genauer überlegen. Viel Spaß damit, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    Martin, sie sind durch Ihre Art unschlagbar im Erklären von Sachverhalten!

    Von User06221775174, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Ein Bruch ist nur dann kleiner als ein anderer, wenn sein Nenner größer ist als der des anderen und der Zähler gleich groß ist. Denn 1/4 ist kleiner als 5/6. Es sind also zwei Aussagen nicht korrekt.

    Von Marouan, vor mehr als 2 Jahren