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Transkript Exponentialfunktionen – Beispiel (1)

Hallo, um uns den Exponentialfunktionen zu nähern, möchte ich mal ein Beispiel zeigen. Und zwar das Beispiel f(x)=2x. Und hier kommt eine Unschärfe hinein, ich werde in Zukunft nicht immer wieder sagen, es geht um die Funktion, die durch den Funktionsterm 2x definiert wird. Sonst wird man ja ganz verrückt. Ich werde, wie das im Sprachgebrauch so üblich ist, sagen das ist die Funktion 2x oder ich werde sagen die Funktion f(x)=2x. Das ist übrigens noch nicht mal eine Funktionsgleichung, denn sonst würde da y stehen, damit es eine richtige Funktionsgleichung ist. Also ich werde in Zukunft auch nicht von der Funktion sprechen, die durch die Funktionsgleichung y=2x definiert wird, sondern einfach sagen die Funktion 2x, damit das von der Sprache her etwas einfacher wird. Aber du weißt bitte, dass 2x ein Term ist und keine Funktion. Um die Funktion 2x kennenzulernen, macht man eine Wertetabelle. Am besten einen waagerechten Strich, oben steht das x, unten steht das y. Ich kann jetzt für das x Zahlen einsetzen. Dann rechne ich 2x aus, und heraus kommt der y-Wert. Als Erstes möchte ich für x 0 einsetzen. 20, du darfst hinschreiben ist 1. Es ist wichtig, nicht zu vergessen etwas ^0 ist immer 1. Bis auf 00, das ist nicht definiert, aber ich geh da nicht weiter drauf ein. 20 ist auf jeden Fall gleich 1. Ich kann für x 1 einsetzen. Dann steht da 21=2. Für x kann ich auch 2 einsetzen, dann muss ich rechnen 22, das ist 4, usw. Wenn ich für x 3 einsetze, dann steht bei y 8, denn 23=8. Das werde ich gleich hier in das Koordinatensystem einzeichnen. Es geht mit den negativen Zahlen weiter, z. B.kann ich für x  -1 einsetzen. Dann steht da 2^-1, ich darf noch mal darauf hinweisen es gibt die Definition a^-n=1/an. Da solltest du noch mal dran denken, das haben wir in der Potenzrechnung gemacht. Das ist die Definition für negative Exponenten. Wenn also hier für x -1 eingesetzt wird, dann steht da 2^-1. Das bedeutet dementsprechend 1/21. Ich schreibe es in aller Ausführlichkeit hier hin, 1/21 und das ergibt 1/2 oder 0,5 das ist egal. Du solltest klar sehen, dass das alles das Gleiche ist. Dann können wir auch -2 einsetzen. 2^-2 bedeutet wiederum 1/22, das mal ich jetzt nicht noch alles auf, du kennst das aus der Potenzrechnung, hier wird die Potenzrechnung dann noch mal ein bisschen wiederholt. 1/22=1/4 oder einfach 0,25. Wenn man hier ein Koordinatensystem hat, ist das ganz gut diese Zahlen oder Werte hier in Dezimalschreibweise anzugeben. Du kannst natürlich auch Brüche benutzen, ich persönlich benutze Dezimalzahlen, weil ich das praktischer finde. Richtig ist beides. So, -3 möchte ich noch zeigen, auch hier bitte noch mal überlegen was bedeutet das, 2^-3 bedeutet 1/23. 23 ist 8, 1/8 ist 0,125 und damit ist die Wertetabelle hier erstmal so in Ordnung. Mehr möchte ich im Moment nicht zeigen. So mancher denkt sich, ja das kann ich doch alles mit dem Taschenrechner machen, die Werte ausrechnen. Das ist zwar richtig dann lernt man aber nichts, dann versteht man die Sache nämlich nicht. Die Aufgaben, die zu Exponentialfunktionen kommen, haben oft die Form, dass man verstehen soll, was da abläuft und nicht dass man irgendetwas in den Taschenrechner eintippt. Andere Sache ist, es gibt das Programm geogebra, damit kann man Funkionen zeichnen. Ich schreibe es hier noch mal auf, geogebra nennt sich das, es ist ein freies Programm. Das darfst du aus dem Internet einfach herunterladen und benutzen, das ist alles legal. Damit kann man Funktionen zeichnen und du könntest die Funktion 2x einfach mit dem Programm zeichnen. Das hat auch seinen Sinn, ich werde da später noch mal darauf eingehen. Aber ich finde, hier am Anfang sollte man sich wirklich mal überlegen wie ist das noch mal mit den negativen Exponenten, ich würde da noch darauf eingehen was ist, wenn da Brüche stehen und sowas. Das sollte man sich einmal langsam überlegen und dann kann man hinterher geogebra einsetzen und viele lustige Funktionen zeichnen. Wenn man die z.B. alle miteinander vergleicht, das ist dann ganz praktisch dieses Programm. Aber hier mach ich das alles zu Fuß und jetzt möchte ich also dahin kommen, diesen Funktionsgraphen einzuzeichnen. Rein zufällig befinden sich hier schon ein paar Punkte, das heißt, ich hab die Werte vorher schon heimlich eingetragen und ich versuch das jetzt mal so halbwegs vernünftig zu verbinden. Das ist nicht ganz gelungen, diese Kurve müsste ungefähr so laufen. So sieht das aus. Eine kleine Welle hier, ansonsten ist das ziemlich genau so diese Funktion 2x die du hier siehst. Der Graph der Funktion um genau zu sein. Auch da werde ich es nicht immer ganz genau sagen, weil es auch nicht üblich ist und ich möchte, dass du mich verstehst. Es geht nicht in erster Linie darum, dass ich hier die Mathematik so sehr genau hochhalte, sondern es geht darum, dass du etwas lernst. Und da pass ich mich dem üblichen Sprachgebrauch an. Also, das ist der Graph der Funktion, der ist jetzt erfolgreich erledigt, die Wertetabelle ist auch da und damit soll das Beispiel hier mal reichen. ÜBis dann, tschüss.Darf ich  das eigentlich? Ja, ich darf das. Ich weiß, dass die Funktion so verläuft, aber ich habs noch nicht erklärt, dass sie so verläuft. Das kommt in dem nächsten Beispiel, nicht komplett und vollständig, das kann  man so nicht machen. Aber ich werde dazu etwas sagen. Nimm es erstmal als gegeben hin, dass ich das weiß und ich erklär noch etwas dazu. Bis dann, tschüss.  

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2 Kommentare
  1. Default

    sehr, sehr hilfreich und gut erklärt, in einfachen Worten, sodass ich es gut verstanden habe.

    Von Eileen B., vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    das haben Sie sehr gut erklärt! Vielen Dank!

    Von Esther Zeiler, vor fast 5 Jahren