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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=⅓x^(-⅓)•e^(-⅓x) (Teil 2)

Hallo! Wir machen weiter mit der 2. Ableitung, und zwar dieser Funktion hier. Wir haben f(x)=1/3×x-1/3×e-1/3x. Die 1. Ableitung im ersten Schritt steht hier, zusammengefasst steht sie hier, nämlich f'(x)=-1/9×e-1/3x×(x-4/3×x-1/3). Da steht noch einmal das Distributivgesetz, ja, für die Leute, die es vergessen haben. Sollte nicht der Fall sein, aber es kommt vor, ich weiß es. So, 2. Ableitung davon geht folgendermaßen. Zunächst einmal stellen wir fest, wir haben es hier mit einem Produkt zu tun. Deshalb können wir die Produktregel anwenden. f''(x) ist, also ich möchte hier zunächst einmal den ersten Faktor dieses Produkts ableiten. Und da steht noch mal ein Faktor vor der, sage ich mal, eigentlichen Funktion. Also da, der Term, wo das x drin ist, da steht ja noch dieser Faktor -1/9 davor. Nach der Faktorregel kann man den einfach stehen lassen in der Ableitung. Also steht hier erst mal -1/9 und dann muss ich noch ableiten e-1/3x. Habe ich gerade schon in der ersten Ableitung gezeigt, wie das geht. Es ist eine verkettete Funktion. Man rechnet dann, also, dass die Ableitung einer verketteten Funktion die Ableitung der inneren Funktion mal der Ableitung der äußeren Funktion ist. Die innere Funktion ist -1/3x. Die Ableitung davon ist -1/3. Das heißt, ich muss noch mal -1/3 hier hinschreiben. Mache ich jetzt aber nicht. Denn -1/9 mal -1/3 ist ja +, und mal 1/3 schreibe ich auch nicht, sondern schreibe einfach mal 3 in den Nenner. Das ist ja das Gleiche. Das weißt du aus der Bruchrechnung. Dann kommt noch die Ableitung der äußeren Funktion. Weil es eine e-Funktion ist, bleibt diese Ableitung, also sieht die Ableitung genau so aus wie die Ausgangsfunktion, nämlich e-1/3x. Dann darf ich die Klammer noch abschreiben, also x-4/3+x-1/3. Das steht hier, so in voller Schönheit. Das ist jetzt der erste Summand dieser 2. Ableitung. Es geht weiter mit +. Ich muss die erste Funktion abschreiben. Also wenn das jetzt u ist, das ist v, geht es ja im zweiten Summanden der Produktregel, dann geht es ja um u×v'. Also u kann ich einfach abschreiben, also -1/9×e-1/3x, dann war ich jetzt voreilig mit dem Pluszeichen. Wenn jetzt hier -1/9 steht, das kann ich da auch Minuszeichen hinschreiben, e-1/3x. So, und dann kommt noch die Ableitung der Klammer. In der Klammer steht eine Summe. Wir brauchen die Summenregel, das heißt, wie können jeden Summanden einzeln ableiten. Wir haben x-4/3. Das kann man ableiten nach der Potenzregel. Ja, die Ableitung von xn ist ja n×xn-1. Also darf ich hier hinschreiben: Das n, das ist bei uns -4/3 mal x-4/3-1, das sind -7/3. also steht hier x-7/3. Dann kommt +x×xn-1 wieder. Da n ist in dem Fall -1/3. Also schreibe ich kein Pluszeichen hin, sondern gleich -1/3×x-1/3-1 nach Potenzregel ist -x-4/3. Und damit ist die Ableitung der Klammer gelungen. So sieht das Ganze aus. Das lässt man so natürlich nicht stehen. Denn, falls man noch die 3. Ableitung braucht, auch sonst würde man erst einmal hier etwas ausklammern. Dann wird das ein bisschen übersichtlicher hier drin. Um auszuklammern, kann ich noch ein bisschen aufräumen. Und zwar sehe ich ja hier ein Minuszeichen und ein Minuszeichen. Das heißt, ich könnte da das Minuszeichen wegnehmen und da auch, ein Pluszeichen draus machen und quasi den Faktor -1 vor die Klammer schreiben. Ja, hier steht jetzt der Faktor -1. Den kann ich dann multiplizieren mit -1/9. Und -1/9×(-1)=+1/9. Also steht hier das Pluszeichen. Dann habe ich schon ein bisschen was gespart. Dann sehe ich, dass hier durch 3 geteilt wird und da auch durch 3 geteilt wird. Das bedeutet, ich kann dieses Durchdreiteilen, also dieses mal 1/3, das kann ich auch aus der Klammer herausholen und hier davorschreiben. Dann habe ich nämlich das Gleiche wie da oben. Und dann muss es hier natürlich weg. Dann ist hier 1/3 komplett weg. Und hier steht nicht mehr 4 durch 3, sondern einfach nur 4×x-7/3. Und dann bemerke ich also, dass ich ja das hier aus diesen beiden Summanden, das Pluszeichen ausklammern kann. Und das werde ich jetzt einmal machen. Also 1 geteilt durch 9 mal 3 ist 1/27. Damit das jetzt hier richtig hinhaut vom Platz her, möchte ich das einfach einmal so als Bruch hinschreiben. Ich kann ja schreiben e-1/3x geteilt durch 27, das ist ja das Gleiche wie 1/27×e-1/3x. Und dann kommen die beiden Klammern, das heißt, ich muss das hier Plus das noch dahinschreiben, und dann kann ich das auch gleich zusammenfassen. Und zwar möchte ich das zusammenfassen in absteigender Reihenfolge der Exponenten. Der größte Exponent ist -1/3, also setze ich hier schon einmal hin: x-1/3. Dann haben wir x-4/3 und noch mal x-4/3 macht +2x-4/3, und 4×x(-7/3). Das kann ich einfach abschreiben, +4×x(-7/3). Und dann geht die Klammer zu. Und das ist also unsere zweite, freundliche Ableitung hier. Ich hoffe, du hast das genauso. Du siehst, man braucht viel Platz nach oben und unten dabei. Viel Spaß damit. Tschüss.

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