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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=⅓x^(-⅓)•e^(-⅓x) (Teil 1)

Hallo! Hier habe ich eine Funktion vorbereitet. Davon sollen die ersten beiden Ableitungen gebildet werden. Ich fange mal mit der ersten Ableitung an. Die Funktion lautet (1/3)x-1/3×e(-1/3)x. Wir stellen nun fest, dass es sich hierbei um ein Produkt handelt und deshalb müssen wir die Produktregel verwenden. Das hier ist der erste Faktor des Produktes. Das hier ist der zweite Faktor des Produktes. Also u=(1/3)x-1/3 aus der Produktregel und v=e(-1/3)x. Die Produktregel lautet u'v+uv', also brauche ich als erstes die Ableitung des ersten Faktors, also die Ableitung von (1/3)x-1/3. So, dann ist (1/3) ein Faktor. Darauf wende ich die Faktorregel an, die besagt, dass der Faktor einfach stehen bleibt. Dann wende ich auf x-1/3 die Potenzregel an. Wir wissen ja, xn ergibt abgeleitet n×xn-1. Das "n" ist bei uns -(1/3). n×xn-1 beginnt dann mit dem "n", also hier mit -(1/3)×x(-1/3)-1. Da -1=-3/3 gilt, steht hier also x(-1/3)-(3/3), das sind x-4/3. Dann muss ich noch "v" abschreiben, "×v" das ganze, also e(-1/3)x "+" der zweite Summand aus der Produktregel. "u" darf ich einfach abschreiben, also (1/3)x-1/3. Dann brauchen wir noch die Ableitung von e(-1/3)x. e(-1/3)x ist eine verkettete Funktion. Die innere Funktion ist (-1/3)x. Die äußere Funktion ist "e" hoch "diese innere Funktion". Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer verketteten Funktion "Ableitung der inneren Funktion" × "Ableitung der äußeren Funktion" ist. Die Ableitung von (-1/3)x ist einfach (-1/3). Deshalb schreibe ich hier hin ×(-1/3). Die Ableitung der äußeren Funktion ist die Ableitung von "e" hoch "Exponent". Diese Funktion bleibt beim Ableiten gleich, also kann ich noch e(-1/3)x hinschreiben. Das ist jetzt also f'(x). Wenn man das jetzt zum zweiten Mal ableiten möchte, hätte man hier jetzt das Problem, dass man zum einen hier ein Produkt hat, da müsste man die Produktregel anwenden. Hier ist noch mal ein Produkt, da müsste man erneut die Produktregel anwenden. Damit das nicht zu viele Summanden werden und zu viele Produktregeln, versucht man jetzt natürlich erst mal hier etwas auszuklammern und ein einziges Produkt daraus zu machen. Dann wird es bei der zweiten Ableitung etwas einfacher. Es geht los! Damit das nicht zu viele Summanden werden und zu viele Produktregeln, versucht man jetzt natürlich erst mal hier etwas auszuklammern und ein einziges Produkt daraus zu machen. Was kann man denn ausklammern? Was ist denn in beiden Summanden drinnen? Ich schreib sicherheitshalber noch einmal das Distributivgesetz auf, weil ich weiß, dass Schüler das sehr gerne vergessen. ab+ac=a(b+c). Das "a" ist das, was hier in beiden Summanden vorkommt. Da schlage ich vor: Wir haben hier (1/3). Wir haben auch noch (-1/3). Das ist hier auch der Fall, da ist (1/3) und da ist (-1/3). Wir haben in diesem Summanden e(-1/3)x und da haben wir auch e(-1/3)x. Also möchte ich insgesamt (1/3)×(-1/3)×e(-1/3)x ausklammern. Da (1/3)×(-1/3)=(-1/9), schreibe ich das hier einfach nach vorne: (-1/9)×e(-1/3)x. Das ist jetzt das "a". Die Frage ist jetzt, was das "b" ist. "b" ist der Rest. Das haben wir ausgeklammert, und das und das, also bleibt noch x-4/3. Das ist "b". Hier haben wir (1/3), (-1/3) und e(-1/3)x schon ausgeklammert, also bleibt hier noch übrig: x-1/3. Das ganze wird hier addiert. Dieses "-" Zeichen ist ja hier schon ausgeklammert, also "+" x-1/3. Dann geht die große Klammer zu. x-1/3 ist also dann das "c". Die zweite Ableitung kommt in einem Extrafilm, dann kann ich hier ein bisschen Ordnung schaffen! Viel Spaß damit! Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Felix

    @Erichneidert: Wenn du die Ableitung -1/9*e^(-x/3)*(x^(-4/3)+x^(-1/3)) mit x^(5/3) erweitert, dann bekommst du -( x^4/3 + x^1/3 ) * e^-x/3 geteilt durch 9*x^5/3. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor 5 Monaten
  2. Default

    Sehr geehrter Herr Wabnik,
    mein Rechner Casio Classpad hat folgende Ableitung angezeigt:
    -( x^4/3 + x^1/3 ) * e^-x/3 geteilt durch 9*x^5/3 .
    Ich bin mir nun nicht sicher, ob es eine mir nicht bekannte Umformungsmöglichkeit gibt oder ob ich einen Eingabefehler gemacht habe.
    Können Sie mir helfen ?
    Viele Grüße
    Erich Neidert

    Von Erichneidert, vor 5 Monaten
  3. Default

    Das Zusammenfassen also das Ausklammern war mir persönlich viel zu schnell. Ich kann das irgendwie nicht nachvollziehen... :(

    Von Aga Do, vor mehr als 3 Jahren
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