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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=(e^x-3x³)/3

Hallo, wir machen Ableitungen von e-Funktionen. Hier kommt wieder eine Aufgabe zum Pauken. Wir haben eine Funktion f(x), die heißt ex - 3x3, das steht über dem Bruchstrich und unter dem Bruchstrich steht eine 3. Wie geht man jetzt da dran. Man kann hier nicht die 3 heraus kürzen. Das wollt ich nur mal erwähnt haben. Das ist eine Summe. Man kann nicht aus Summen kürzen. Es gibt auch den Spruch: „Aus Summen kürzen nur die Dummen.“ Jetzt haben wir ja hier einen Bruch vor uns, das ist ein Quotient. Das heißt, wenn wir nichts weiter daran machen, müssten wir jetzt die Quotientenregel anwenden. Da aber kein x im Nenner steht, kann man diesen ganzen Bruch auch umschreiben. Warum möchte ich das umschreiben? Weil die Quotientenregel kompliziert ist. Und wenn man sich die Sache einfach machen kann, dann macht man das halt auch. Das ist der Grund. Man kann hier zwei Brüche draus machen. Und zwar kann man erst einmal schreiben: ex geteilt durch 3 minus 3x3 geteilt durch 3. So dann hat man schon mal zwei Brüche, die hier von einander subtrahiert werden. Das heißt, die letzte Rechnung ist hier eine Strichrechnung, was wiederum bedeutet: Wir haben eine Summe vor uns. Auch wenn man etwas subtrahiert ist es auch eine Summe. Von Summe spricht man immer, wenn bei der Wertbestimmung des Terms eine Strichrechnung steht. Hier kann man allerdings etwas kürzen, die 3. Das kann ich auch noch etwas anders schreiben und zwar als f(x)=1/3× ex und wenn ich hier die 3 gekürzt habe bleibt noch x3 übrig. f(x)=ex - x3, das ist jetzt unsere Funktion. Wenn die so dasteht, können wir die ganz einfach ableiten und das geht folgendermaßen. Wir haben weiterhin eine Summe da stehen, das heißt wir können die Summenregel anwenden, wir können die einzelnen Summanden getrennt von einander ableiten und die Ableitungen hinterher addieren. Das ist dann die Ableitung der gesamten Funktion. Das ist also das, was die Summenregel besagt. Zunächst mal steht hier f(x)= 1/3× ex, 1/3 ist einfach eine Zahl, wir können die Faktorregel anwenden. Die Faktorregel besagt, dass der Faktor stehen bleibt. Wir hatten auch schon mal die Situation, dass wir Faktor mal ex hatten und dann haben wir gesehen, die Ableitung ist gleich der Ausgangsfunktion, wenn man eine Funktion der Form Faktor mal ex hat. Bitte da ist die Ableitung. Jetzt steht hier -x3. Da stellen wir uns vor, dass das Minuszeichen ein Faktor ist und zwar -1×x3. (Das hatte ich an anderer Stelle schon mal ausformuliert, würde ich jetzt hier nicht nochmal machen.) Das bedeutet, wir haben -1× etwas, was dahinter kommt. Der Faktor -1 bleibt ja nach der Faktorregel einfach so bestehen. Auf x3 müssen wir die Potenzregel anwenden, hatte ich in dieser Serie auch schon mal aufgeschrieben. Ich hoffe Du hast das noch in Deinen Unterlagen. Die Ableitung einer Funktion xn ist n×xn-1. Das n ist bei uns hier 3. Deshalb muss ich hier hinschreiben: 3×x3-1. Dann muss ich hier noch zwei elementare Umformungen machen. 1 oder -1 mal irgendwas schreibt man ja nicht, sondern man schreibt einfach minus das, was dann danach kommt. Also f(x)=-3×x3-1, 3-1 ist also x2. Das ist hier die erste Ableitung unserer Ausgangsfunktion. Die möchte ich dann gleich nochmal ableiten. Wir hatten jetzt schon mehrmals Faktor mal ex ist abgeleitet wieder gleicher Faktor mal ex. Das schreib ich einfach ab. Es wird hier die Summenregel angewendet. Das ist eine Summe. Der erste Summand alleine abgeleitet ist dann wieder 1/3ex. Dann kommt der zweite Summand, den leiten wir noch ab. -3 ist einfach der Faktor, der vor dem x2 steht. Der bleibt also gleich, nach der Faktorregel. Dann müssen wir noch x2 ableiten. Nach der Potenzregel ist es dann einfach 2×x2-1, auch das möchte ich noch einmal ganz ausführlich hinschreiben. Wenn Dir das zu ausführlich ist, Du kannst auch gerne nach vorne springen in der Erklärung. Am Ende halt ich die Tafel noch mal hoch und dann siehst Du das Ergebnis. Dann kannst Du das auch einfach für Dich rechnen und mit dem Ergebnis vergleichen, was ich hier hochhalte. Also -3×2 = -6×x. x2-1 =x1, x1 schreibt man nicht, weil x1 einfach gleich x ist. Deshalb ist das hier die 2. Ableitung also f(x)=1/3ex-6x. Das ist das Ergebnis, ich hoffe Du hast das genau so. Viel Spaß, Tschüss!

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