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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^(4x)-e^(-4x)

Hallo, es geht um Ableitungen von e-Funktionen. Hier kommt wieder eine e-Funktion, das ist noch nicht die Ableitung selbstverständlich, sonst wäre es ja Blödsinn, dann bräuchte ich das ja nicht mehr zu machen. Also wir haben e4x-e^-4x. Das sind e's hier. So, diese Funktion soll zweimal abgeleitet werden, wie kann man das machen? Wir stellen fest, dass es sich bei diesem Funktionsterm um eine Summe handelt, das ist ein Summand, das ist der andere Summand. Deswegen können wir die Summenregel verwenden. Die Summenregel besagt, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten können und dann die einzelnen Ableitungen addieren können. Das ist dann die Ableitung der gesamten Funktion. Wie kann man e4x ableiten? e4x ist eine verkettete Funktion. Ich schreib das vielleicht noch einmal getrennt auf, wie diese Verkettung hier genau funktioniert. Also, e4x kann man schreiben als ev(x), und zwar dann, wenn v(x) die innere Funktion ist, nämlich v(x)=4x. Das ist die innere Funktion. Und die äußere Funktion ist u(v(x)), hier brauch ich eine 2. Klammer, weil ja auch 2 Klammern aufgegangen sind, und das ist ev(x). Also das, was das u hier macht, die Funktion u, ist einfach nur e hoch Exponent. Jetzt kann ich u ableiten, also u'(v(x)) ist dann wieder ev(x). Das ist die äußere Funktion und eine e-Funktion bleibt beim Ableiten gleich. Die innere Funktion v(x) muss ich noch ableiten, das ist dann v'(x) und die Ableitung von 4x ist 4. Begründe ich jetzt nicht weiter, hab ich schon öfter gemacht in dieser Serie, sonst wird es ja zu langweilig. Wenn es nicht sowieso schon langweilig ist. Also das ist ja zum Pauken hier, das ist vielleicht auch nicht besonders interessant. So, die Kettenregel besagt jetzt: Ableitung einer verketteten Funktion ist innere Ableitung × äußere Ableitung, man kann natürlich auch sagen äußere Ableitung × innere Ableitung, das ist ja egal. Ich fange mit der inneren Ableitung an: innere Funktion ist v(x), v'(x) ist einfach 4, × äußere Ableitung, das ist ev(x) und für v(x) schreib ich einfach das hin, was v(x) ist, nämlich 4x. Dann kommt hier ein Minuszeichen. Das kann ich auffassen als -1×e^-4x, damit ist -1 ein Faktor, mit dem e^-4x multipliziert wird. Und deshalb kann ich hier einfach schreiben -1 × das, was da noch kommt. Die Faktorregel besagt ja, dass der Faktor einfach stehen bleibt. Jetzt hab ich hier eine neue Situation, und zwar e^-4x. Und ich möchte das hier mal so ein bisschen reinschmieren, ja, wenn ich jetzt e^-4x habe, bleibt die Überlegung fast die Gleiche: -4x ist die innere Funktion v(x), v(x) muss ich dann hier als -4x hinschreiben und dann ist die Ableitung von -4x nicht 4, sondern -4. Und die Situation hier unten bleibt die Gleiche, da die äußere Funktion u einfach nur e hoch Exponent ist, abgeleitet bleibt das wieder e hoch Exponent und damit kann ich also auch den 2. Summanden vollständig ableiten. Wir haben gesagt innere Ableitung × äußere Ableitung, innere Ableitung ist -4, äußere Ableitung ist e^-4x. Das kann man nun weiter zusammenfassen und das ist dann 4e4x+4e^-4x. Jetzt ergibt, nein ist fertig, jetzt ergibt sich gar nichts. Ich brauch die 2. Ableitung. Ich muss ableiten: eine Summe, 1 Summand, 2. Summand. 1 Faktor steht vor e4x. Die Faktorregel besagt, dass der Faktor einfach stehen bleibt. e4x hab ich gerade schon abgeleitet, dann kann ich hier abschreiben: die Ableitung von e4x ist 4e4x, mache ich jetzt ohne Begründung, habe ich ja gerade schon ausführlich begründet. Also muss ich diesen Term hier wieder abschreiben, also ×4e4x. Und dann komm ich zu diesem Zeug hier. Da steht 4 × eine Funktion. Auf 4 × diese Funktion kann ich die Faktorregel anwenden und ich glaub das wird nicht ganz hinkommen, deshalb fang ich jetzt hier schon einmal eine 2. Zeile an. Die 4 ist der Faktor, der vor der Funktion steht, also 4 × die Ableitung dieser Funktion. Die Ableitung dieser Funktion habe ich gerade schon gemacht, ich habe ja hier -1 hingeschrieben, also -1 ×  irgendwas, und das irgendwas war e^-4x, davon haben wir schon die Ableitung, von e^-4x, und die ist -4e^-4x. Also werd ich das jetzt einfach abschreiben: ×-4e^-4x. So, und was man zusammenfassen kann, das fasst man dann auch noch zusammen. 4×4 ist 16×e^-4x, 4×-4 ist -16×e^-4x. Und vielleicht hast du auch gerade gedacht, ach das ist ja 0. Nein, ist es natürlich nicht, denn hier wird hoch 4x gerechnet, hier hoch -4x gerechnet, also da kann man nicht einfach irgendwie was abziehen, die Ableitung hier ist nicht 0 und damit ist der Film zu Ende. Viel Spaß damit und tschüss.  

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