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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^(3x-2)

Hallo! Hier kommt eine Ableitung einer e-Funktion. Die Funktion lautet schlicht und ergreifend: e3x - 2. So, da kann man wieder schön pauken. Wir stellen fest, dass es sich hierbei um eine verkettete Funktion handelt. Und das möchte ich noch mal ein bisschen deutlicher machen. Wenn wir diesen Term hier ausrechnen wollen, setzen wir eine Zahl für x ein, dann rechnen wir 2 × diese Zahl, also 2 × x. Dann müssen wir von dem Ergebnis ... Entschuldigung, man rechnet 3 × diese Zahl x und dann müssen wir von dem Ergebnis noch die 2 abziehen, also von den 3x, und das, was da rauskommt, das wird dann in den Exponenten von e eingesetzt, also e3x - 2. Und wenn man das jetzt hier noch vervollständigt, dann sieht das Ganze halt aus wie eine Kette, nicht wahr? Und deshalb heißt das Ganze Kettenregel. Ich schlage vor, dass bis hierhin die innere Funktion ist und ab da die äußere Funktion. Das heißt, unsere innere Funktion ist hier v(x) = 3x - 2. Die äußere Funktion ist u(v) - (x) könnte man schreiben, schreibe ich aber jetzt nicht -, das ist ev. Und das [(x)] schreibe ich deshalb nicht, weil da die Tafel zu Ende ist. (x) kann man auch manchmal weglassen, also v ist ja diese innere Funktion hier. Gut, dann kann man das ableiten. Ich lasse es mal da liegen, da kann man es ja auch sehen. Wir machen: f'(x) =, naja, ich brauche die Kettenregel. Innere Ableitung × äußere Ableitung, sagt die Kettenregel, das ist die Ableitung einer verketteten Funktion. Die Ableitung der inneren Funktion ist die Ableitung von 3x - 2 und das ist einfach 3 - sag ich jetzt mal so, kennst du wahrscheinlich, brauche ich nicht weiter erläutern. Die Ableitung der äußeren Funktion, die Ableitung von u ist also die Ableitung dieser Exponentialfunktion, also eExponent und das bleibt ja beim Ableiten gleich. Damit ist die Ableitung insgesamt dann 3 × e3x - 2. Also hier steht ja ev und ev bleibt beim Ableiten gleich und für v muss ich dann noch das hinschreiben, was v ist, nämlich 3x - 2. So, das ist die erste Ableitung und die zweite ergibt sich jetzt relativ schnell. Denn ich stelle fest, es gibt hier einen Faktor und der bleibt beim Ableiten einfach stehen, nach der Faktorregel. Das ist die Funktion e3x - 2, die habe ich gerade schon abgeleitet. Die Ableitung der Funktion 3x - 2 steht hier, das ist diese ganze Funktion, also werde ich das jetzt einfach hier hintersetzen und abschreiben. Also 3 × e3x - 2 und dann darf ich noch 3 × 3 zusammenfassen, das ist 9, also ist die Ableitung, die zweite Ableitung hier 9 × e3x - 2. Und man könnte auch noch die dritte und vierte Ableitung machen, da kommt ja immer dann eine 3 dazu, kein Problem. Viel Spaß damit. Tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Zur Frage: x hoch 0 ist 1, also eine konstante, deren Ableitung 0 sein müsste

    Von Marouan, vor mehr als 2 Jahren
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