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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=5e^(6x)

Hallo! Wir machen eine freundliche Ableitung einer e-Funktion hier in dieser Filmserie zum Pauken von Ableitungen von e-Funktionen. Wir haben eine Funktion, die lautet 5×e6x, die ist zweimal abzuleiten. So, wie geht das? Wir stellen hier fest e6x ist eine verkettete Funktion. Ich sage kurz was zu verketten Funktionen, da gibt es auch ausführliche Sachen zu, ausführliche Filme, wo ich das bereits erklärt habe. Deshalb hier jetzt nur kurz. Was ist eine Verkettung? Du kannst dir also vorstellen, wenn du jetzt e6x ausrechnen möchtest, also für x eine Zahl einsetzt, dann setzt du halt erst die Zahl für x ein, rechnest dann 6× diese Zahl und das Ergebnis setzt du dann in den Exponenten von e ein, und da du jetzt hier mehrere Rechnungen hintereinander machst und wenn man die Pfeile jetzt hier so vervollständigen würde, dann hätte man so eine Kette, ja. Das sieht dann aus wie eine Kette und deswegen sagt man Kettenregel oder verkette Funktion oder aus welchen Gründen auch immer, ist ja egal. So, da wir jetzt hier eine verkettete Funktion haben in Form dieses e6x, müssen wir also die Kettenregel anwenden. Und dann geht es los. Wir haben f'(x) ist, ja zunächst mal ist hier der Faktor, der davor steht, der heißt 5. Nach der Faktorregel bleibt dieser Faktor einfach stehen, also können wir schon mal 5× hinschreiben. Die Kettenregel müssen wir jetzt anwenden, kann ich auch noch mal in aller Ausführlichkeit hier aufschreiben. Wenn es dir zu ausführlich ist, kannst du diese Erklärung auch gerne überspringen. Wir stellen und eine verkettete Funktion so vor, u(v(x)), also erst macht die Funktion v was mit dem x und dann mit dem Ergebnis macht u auch noch mal was. So ist das zu verstehen. Wenn wir also so eine Funktion jetzt ableiten wollen, wenn das also f ist, f(x), dann ist f'(x) gleich die Ableitung von v, deshalb sagt man also innere Funktion, das hier ist innerhalb der Klammer und das hier ist außen. v(x) ist die innere Funktion, Ableitung der inneren Funktion, also v'(x) mal Ableitung der äußeren Funktion, also ×u'(v(x)). In unserem Fall ist die innere Funktion 6x. Ja, also wenn du dir das so in der Reihenfolge vorstellst, dass du die Rechnungen durchgehst, kannst du hier irgendwo einen Strich machen. Links von diesem Strich ist die innere Funktion, rechts davon ist die äußere Funktion. Innere Funktion, wie gesagt, ist bei uns hier v(x)=6x. Die Ableitung ist 6, das schreibe ich jetzt nicht noch mal extra hin. Die äußere Funktion u(v(x)) ist in unserem Beispiel hier ev(x). ev(x) können wir ableiten, also nur wenn wir die äußere Funktion ableiten ist es ja e hoch irgendwas und das bleibt in der Ableitung gleich beziehungsweise die Ableitung ist dann gleich der Ausgangsfunktion, so heißt es ja besser. Ich weiß gar nicht, wo ich die ganzen Tafeln ablegen soll. Ach so, hier wollte ich ja weiter machen. f'(x) ist 5× und jetzt kommt noch die Ableitung von e6x. Da haben wir einmal gesagt wir müssen die innere Funktion ableiten, also v' bilden. v'=6, wenn v(x)=6x ist. Also schreibe ich hier 6 hin. Mal der Ableitung der äußeren Funktion. Die äußere Funktion ist e hoch dingsbums und das bleibt e hoch dingsbums in der Ableitung und der Exponent selber ist ja weiter v(x) und v(x)=6x. Das ist das e, das sind 6en. Und dann darf man das natürlich noch in Vernünftig hinschreiben denn 5×6 rechnet man natürlich aus, das ist 30. 30×e6x ist nun mit dieser sehr ausführlichen Erklärung die erste Ableitung. So, dann brauchen wir gleich die zweite Ableitung. Die kommt sofort. Die zweite Ableitung f'(x), wir müssen 30×e6x ableiten, jetzt darf ich mich etwas kürzer fassen. Nach der Faktorregel bleibt die 30 einfach stehen. e6x ist wieder eine verkettete Funktion. Ich nehme die Ableitung der inneren Funktion, die innere Funktion ist 6x, die Ableitung davon ist 6. Nach Kettenregel müssen wir rechnen, Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion. Hier steht mal Ableitung der inneren Funktion, also mal 6- Äußere Funktion ist e hoch irgendwas oder ev(x), die Ableitung davon. Also die äußere Ableitung alleine ist einfach wieder ev(x), weil ja die Ableitung einer e-Funktion gleich der Ausgangsfunktion ist. Also schreibe ich hier wieder hin e6x. Und das darf man noch ausrechnen. 3×6=18, ich hoffe, das kannst du ohne Taschenrechner. 30×6=180 mal e6x, das ist das e, muss man immer unterscheiden hier schön. 180×e6x ist also hier die zweite Ableitung der Ausgangsfunktion f(x)=5×e6x. Viel Spaß, bis zum nächsten Mal, tschüss!

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