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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=3x+e^(-2x)

Hallo, wir machen Ableitungen von e-Funktionen und es geht weiter mit der Funktion f(x)=3x+e^-2x. Die soll zweimal abgeleitet werden. Zunächst mal die 1. Ableitung f'(x). Nun, da müssen wir die Summanden getrennt  ableiten nach der Summenregel. Die Ableitung von 3x ist 3, das ist nach der Faktorregel der Fall. 3 ist der Faktor, der vor dem x steht, der wird multipliziert. Die Ableitung von x ist gleich 1, kann man nach der Potenzregel ausrechnen, vielleicht kann man sich das auch so merken. Ich könnte natürlich noch hier für die Ableitung von x 1 hinschreiben, aber 3x1 ist ja gleich 3 und deshalb kann man das weglassen. Dann kommen wir zum 2. Summanden, der ist also e^-2x. Wenn man das ableiten möchte, braucht man die Kettenregel e^-2x ist eine verkettete Funktion. Wir können uns kurz überlegen, was ist die innere Funktion, was ist die äußere Funktion. Du weißt noch, bei der Kettenregel hat man eine innere Funktion und eine äußere Funktion. Die innere Funktion ist das, was man zuerst ausrechnet, wenn man e^-2x ausrechnen möchte. Zuerst muss man ja eine Zahl für x einsetzen, dann wird diese Zahl mit -2 multipliziert und das Ganze wird dann, das Ergebnis davon, wird in den Exponenten von e eingesetzt. Das, was man zuerst rechnet, ist die innere Funktion, das was man danach rechnet, ist die äußere Funktion. Deshalb ist, wenn man zuerst rechnet  -2x, die innere Funktion, die äußere Funktion ist eExponent. Hier kann ich also erst die innere Funktion ableiten, du weißt ja, die Kettenregel besagt, die Ableitung einer verketteten Funktion ist kurz gesagt: Innere Ableitung mal äußere Ableitung. Das heißt, ich muss die innere Funktion ableiten, das ist hier einfach -2, denn die Ableitung von -2x ist -2. Innere Ableitung mal die äußere Ableitung besagt die Kettenregel, das ist die Ableitung der verketteten Funktion. Jetzt muss ich noch die Ableitung der äußeren Funktion bilden. Äußere Funktion ist eExponent und da wissen wir, dass das immer gleich bleibt. Und der Exponent ist die innere Funktion, die jetzt einfach bleibt, wie sie ist. Deshalb ist hier also die Ableitung im Ganzen 3-2·e^-2x. So, und jetzt habe ich angedroht, dass ich die 2. Ableitung auch noch machen will. Das mache ich jetzt auch. Die 1. Ableitung ist eine Summe, das ist der eine Summand, das ist der andere Summand, deshalb wird hier die Summenregel angewendet. Der 1. Summand wird als Erstes abgeleitet und der 1. Summand ist die 3. Die 3 ist eine konstante Funktion, der Graph verläuft parallel zu x-Achse. Die Ableitung davon ist 0. Dann muss ich die Ableitung des 2. Summanden noch zu der 0 hinzuaddieren, deshalb kann ich die 0 einfach weglassen, denn sie ändert das Ergebnis nicht. Also, jetzt muss man noch den 2. Summanden ableiten, der ist -2·e^-2x. Und -2 ist ein Faktor und hier ist quasi die Funktion, also eine getrennte Funktion davon, so kann man das ja sehen. Zahl mal Funktion, deshalb kann man die Faktorregel anwenden. Und die besagt, dass der Faktor beim Ableiten einfach stehen bleibt.  Dann muss ich noch e^-2x ableiten und dann könnte ich das gleiche sagen, was ich gerade hier schon alles erzählt habe. Kann ich auch lassen. Ich schreib dann einfach hier die Ableitung dieser Funktion ab. Sie ist nämlich -2·e^-2x. Ja, hier haben wir ja e^-2x abgeleitet, das war -2·e^-2x. Und diese -2 steht da wegen der Faktorregel, dann habe ich e^-2x abgeleitet und das ist -2·e^-2x. Und wenn man eine negative Zahl multiplizieren möchte, dann braucht man eine Klammer.  Und jetzt kann man das noch zusammenfassen. Dann haben wir f''(x)=-2·(-2), das ist plus 4, mal e^-2x. Das ist die 2. Ableitung, und wenn man jetzt weiter ableiten würde, dann käme immer noch mal ein Faktor -2 dazu. So wird es weitergehen aber ich wollte ja nur die 2. Ableitung machen, die ist damit fertig. Viel Spaß damit, tschüss.

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