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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=-3e^(-3x-3)

Hallo Eine Ableitung zum Pauken von E-Funktionen kommt jetzt. Wir haben f(x) - 3 × e^-3x - 3. Ja da gibt es ein Paar Dreien in dieser Funktion. So, was kann man machen? Wir sehen, dass vor einem Funktionsterm eine Zahl steht, ja so kann man das ja auch auffassen, dass im ganzen ist, ja der Funktionsterm, man kann aber auch sagen hier ist -3 mal eine Funktion oder ein Funktionsterm, deshalb können wir die Faktorregel anwenden. Und die besagt, dass dieser Faktor einfach stehen bleibt. Deshalb steht da jetzt -3. Dann müssen wir ableiten e^-x -3 und da sehen wir, dass es eine verkettete Funktion ist, denn wenn wir einen Funktionswert ausrechnen wollten, müssten wir erst was für x einsetzen, dann rechnen wir -3 × x dann müssen wir von diesem Ergebnis 3 abziehen und das Ergebnis wiederum in den Exponenten von e einsetzen. Das heißt, wir haben also eine Funktion, eine inne Funktion -3 × x -3 und eine äußere Funktion nämlich e hoch diesen Exponenten, e hoch diese innere Funktion. Die Kettenregel besagt, dass man verkettete Funktionen ableitet, indem man innere Ableitung × äußere Ableitung rechnet, die innere Ableitung ist ja die Ableitung der inneren Funktion, hier also die Ableitung von -3x -3 und diese Ableitung ist -3. Mache ich jetzt nicht vor, warum die Ableitung -3 ist, hab ich in dieser Serie schon öfter gemacht. Das soll jetzt hier mal so reichen. Dann müssen wir die äußere Funktion ableiten und das ist e hoch der Exponent, der da vorher schon gestanden hat, nämlich -3x -3. Denn wenn man eine E-Funktion ableitet, muss man gar nichts machen, man lässt sie einfach, wie sie ist. Und erhält so die Ableitung. Das kann man noch zusammenfassen, selbstverständlich, nämlich -3 × -3 = +9 das macht man dann auch also 9 × e^-3x-3 ist dann die 1. Ableitung. Und dann können wir gleich die 2. Ableitung machen: f‘‘(x) =. Nun ja wir haben wieder die Faktor regel anzuwenden, denn ein Faktor steht da vorne, also darf ich den schon mal hinschreiben. Dann haben wir die innere Ableitung also die Ableitung der Funktion -3x-3 diese Ableitung ist -3 × die Ableitung der äußeren Funktion, das heißt, es bleibt so, wie es ist: × e^-3x-3. Und das kann man noch zusammenfassen und da verrat ich kein Geheimnis, wenn ich sage, dass das elementar ist, denn wir rechnen einfach 9 × -3 = -27. Und den Rest hier hinten kann man einfach abschreiben also × e^-3x-3 und damit ist die Sache erledigt. Das ist die 2. Ableitung. Viel Spaß, tschüss!

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