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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=-2x^(-2)/(-2e^(-2x))

Hallo, hier kommt eine Ableitung einer Exponentialfunktion, einfach jetzt nur zum Pauken. Also, dieser Funktionsterm, so wie er da steht, enthält ein bisschen viel heiße Luft, den kann man noch verändern. Zum Beispiel kann man ja -2 kürzen, dann sieht das schon etwas besser aus. Und dann kann man ja e^-2x, was ja im Nenner steht, umschreiben und das möchte ich einmal hier ausführlich zeigen. Wenn ich jetzt einfach nur mal 1÷e^-2x nehme und einfach mal hier den Zähler da weglasse, der interessiert mich im Moment nicht. Also, wenn ich diese Sache umschreiben möchte, was kann ich machen? Wir wissen ja, 1 durch irgendwas ist dieses irgendwas ^-1. Ergibt sich aus der Definition der negativen Exponenten. Das heißt, ich kann also statt 1 durch edingsbums schreiben: edingsbums^-1. Jetzt wissen wir, wenn eine Potenz potenziert wird, dann multiplizieren sich die Exponenten. Der eine Exponent ist -2x, der andere ist -1, -2x·(-1)=2x, also ist das Ganze gleich e2x.  Das bedeutet, -2 ist gekürzt, dann bleibt noch übrig x^-2 mal das, was im Nenner gestanden hat und das ist gleich e2x. So, und dann sieht die Sache schon viel einfacher aus, jetzt müssen wir das noch ableiten. Also, 1. Ableitung, wir finden ein Produkt vor, wir verwenden die Produktregel. Das bedeutet, der 1. Faktor muss abgeleitet werden, das ist -2x^-3. Ableitung erfolgt hier mit der Potenzregel, hab ich schon öfter erwähnt. Sag ich hier nicht noch mal, in der Filmserie hab ich das schon gesagt, wenn du mal die Vorgängerfilme hier guckst mit den Vorgängernummern, dann findest du reichlich die Potenzregel. Also, geht weiter mit dem Abschreiben des 2. Faktors und dann haben wir Plus. Dann nehme ich eine neue Zeile, denn jetzt darf ich den 1. Faktor abschreiben und mit der Ableitung des 2. Faktors multiplizieren. Und die Ableitung ist 2·e2x und zwar nach Kettenregel. Die innere Funktion ist 2x, die äußere ist e^ diese innere Funktion, habe ich schon öfter gezeigt. Falls das nicht geläufig ist, guckst du in den Vorgängerfilm. So, wenn das jetzt noch zum 2. Mal abgeleitet werden soll, ist es ganz praktisch, wenn man mithilfe unseres freundlichen Distributivgesetzes, das diese Summe in ein Produkt verwandelt. Ja, Distributivgesetz ist auch schon öfter gefallen, schreibe ich jetzt nicht noch mal auf. Was können wir denn ausklammern? Wir haben e2x, e2x in beiden Summanden, und wir haben eine 2, diese 2 hier und die auch, da steht zwar -2, ist aber egal, ich möchte die 2 ausklammern. Also habe ich 2·e2x mal ja, was bleibt im 1. Summanden noch, das Minuszeichen habe ich nicht ausgeklammert und x^-3 habe ich auch nicht ausgeklammert. Also steht hier -x^-3. Und da fehlt noch x^-2. So und das ist unsere 1. Ableitung in schön. Dann kommt die 2. Ableitung f(2)', und zwar finden wir wieder ein Produkt vor, wir verwenden die Produktregel, die Ableitung von 2·e2x, macht man ein mal mit der Faktorregel, dann bleibt dieser Faktor stehen. Die Ableitung von e2x macht man mit der Kettenregel, herauskommt 2·e2x und wenn man 2·2 rechnet, kommt 4 heraus. Also haben wir 4·e2x und die Klammer darf ich abschreiben also mal -x^-3+x^-2 plus der 2. Summand, den wir nach der Produktregel erhalten. Und zwar kann man jetzt den 1. Faktor hier abschreiben, also 2·e2x und man muss jetzt noch die Klammer ableiten, in der Klammer steht eine Summe, 3x^-4, also wir haben ja minus mal -3, ja minus, das ist ja quasi -1 bleibt stehen nach Faktorregel, nach Potenzregel kommt dann noch der Faktor ·(-3) dazu, im Ganzen ist das Plus 3·x^-4. Plus ja, -2·x^-3, da kann ich das Pluszeichen weglassen und schreibe einfach -2·x^-3 hin. So, ich hoffe, das ist richtig, ich hab es im Film schon mal angefangen, da habe ich mich vertan irgendwo. Ja, jetzt müssen wir daraus noch ein Produkt machen mithilfe des Distributivgesetzes. Also dann, was können wir denn ausklammern? Wir können 2·e2x ausklammern, ich hatte eigentlich an 4 gedacht, aber das ist nicht so gut, weil man ja hier keine 4 hat. Da hat man 2·3 letzten Endes, wenn man das hier ausmultipliziert und das ist 6, da können wir die 4 nicht ausklammern. Oder es kommt hier ein Bruch hin, aber das ist auch Quark irgendwie. So, also werden wir jetzt ausklammern 2·e2x, ja und das geht so mit dem Ausklammern, dann kann ich mich ein bisschen kürzer fassen, wenn ich hier 2·e2x ausgeklammert habe, bleibt hier noch eine 2 stehen. Die muss ich jetzt noch hier in diese Klammer hineinbringen. Ja? Da steht hier -2·x^-3+2·x2. Das kann ich mir merken, das schreibe ich nicht extra alles auf. Da muss ich mir nichts merken, da steht ja die 2 schon vor der Klammer. Dann möchte ich mal vorgehen in absteigender Reihenfolge der Exponenten. Der größte Exponent ist hier -2, eine 2 kommt ja noch dazu, also habe ich in der Klammer stehen: 2x^-2.  Dann ist das erledigt. Dann kommt x^-3, eine 2 kommt hier noch dazu, das heißt, hier steht -2·x^-3 und hier steht noch mal -2·x^-3, also sind es ingesamt -4·x^-3. Und dann, da ist x^-4, also 3·x^-4, das kann ich nicht weiter irgendwie verklammern oder sonst was, also 3·x^-4 und dann geht die Klammer gerade noch zu. Hier ein mal in ganz deutlich, das ist die 2. Ableitung und ich hoffe, dass ich mich nicht irgendwo verrechnet habe, ein Minuszeichen vergessen habe oder sonst was. Ja, ist immer so eine kleine Schwierigkeit, einfach eine Konzentrationssache. Ich hoffe, das hat geklappt. Viel Spaß damit, tschüss.  

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