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Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=0,5e^(4,6x+4,6)+x^(-1)

Hallo, eine e-Funktion zum Ableiten: wir haben f(x)=½e14/3x+14/3, also 14/3x+14/3 ist der Exponent, und dann geht es hier in der normalen Zeile weiter: +1/x. Das ist die gesamte Funktion. Ja, hier ist es immer ganz wichtig, dass man die Zeilen einhält, dass man auch die Exponenten groß genug schreibt, dass man oben genügend Platz lässt, sonst muss man das alles wieder wegmachen, weil man ansonsten die Zeilen nicht erkennen kann. Hier ist es auch wichtig, dass man eben sieht, dass 1/x nicht der Exponent ist, sondern dass es in der Zeile ist. Also hier ist ein bisschen Ordnung gefragt, damit man weiß, was gemeint ist. Du kannst das sicher auch noch schöner, als ich das hier hingeschrieben habe. Nun, wie sieht es mit der Ableitung aus? Es handelt sich hierbei um eine Summe, 1. Summand, 2. Summand. Wir können die Summenregel verwenden, das heißt die einzelnen Summanden getrennt voneinander ableiten und dann beide Ableitungen addieren. Dann stellen wir hier fest, wir können diesen Summanden zerlegen in eine Zahl × einen Funktionsterm, deshalb können wir die Faktorregel anwenden. Die Zahl, die davor steht, ist einfach ½. Die Faktorregel besagt, dass diese Zahl dann einfach stehen bleibt. Dann haben wir noch die Funktion e14/3x+14/3 abzuleiten. Das ist eine verkettete Funktion. Die Funktion, die im Exponenten steht, ist die innere Funktion, e hoch diese innere Funktion ist die äußere Funktion, also dieses e hoch ist die äußere Funktion. Kettenregel besagt, innere Ableitung × äußere Ableitung. Die innere Ableitung hier ist die Ableitung der Funktion 14/3x+14/3 und die Ableitung davon ist einfach 14/3. Also ½×14/3 haben wir dann schon hier stehen, ×e hoch, ja, die Ableitung einer e-Funktion ist ja gleich der Ausgangsfunktion und deshalb können wir einfach schreiben e14/3x+14/3. Die Funktion e hoch Exponent bleibt einfach gleich, natürlich, wenn im Exponenten noch eine Funktion steht, bleibt das Ganze nicht gleich, sondern man muss ja die innere Funktion dann auch noch ableiten. Dann müssen wir noch 1/x ableiten. 1/x ist ja in Potenzschreibweise x^-1. Und x^-1 kann man mit der Potenzregel ableiten, die ja besagt, die Ableitung von xn ist n×xn-1. n ist bei uns -1, also kann ich hier einfach das Minuszeichen hinschreiben, ach ich schreib -1 hin, so, ×xn-1, bedeutet in unserem Fall dann, wenn n=-1 ist, x^-2, also steht hier -1×x^-2. Das kann man noch ein kleines bisschen verschönern, kommt auf der nächsten Tafel. Also f'(x) ist dann, naja, wir können ½×14/3 rechnen, das geht bitte ohne Taschenrechner, du kannst hier die 2 kürzen, denn 14 ist ja 2×7, also haben wir 7/3×e14/3x+14/3-, ja -1 schreib ich jetzt hier nicht mehr hin, sondern einfach -x^-2, und da darfst du dir auch ruhig überlegen, dass x^-2=1/x² ist. Manchmal kommt das ja auch in der Schreibweise vor. So, dann geht es zur 2. Ableitung f'' von, wir haben hier eine Summe, der 1. Summand besteht aus einem Faktor und einem Funktionsterm. Der Faktor bleibt nach der Faktorregel einfach stehen, also haben wir hier 7/3. Dann müssen wir diesen Funktionsterm, nämlich e14/3x+14/3 ableiten. Das haben wir gerade schon gemacht. Rausgekommen ist dabei das, was hier steht, nämlich 14/3×e14/3x+14/3. Und dann kann ich diese Ableitung jetzt einfach abschreiben. Das mache ich jetzt auch. Also, ab hier muss ich abschreiben, das hier war ja der Faktor von oben und hier steht ja die Ableitung von dem hier. Also 14/3×e14/3x+14/3. Und dann muss ich mich noch um den letzten Summanden hier kümmern, das ist -x^-½. Hier steht ja quasi -1, das ist der Faktor, der darf auch da stehen bleiben, also -1 schreib ich hier noch hin und x^-2 wird abgeleitet nach der Potenzregel. Das n in der Potenzregel ist jetzt bei uns hier -2, also kommt hier noch hin ×(-2)×x hoch, ja, die Potenzregel sagt xn-1, wenn wir von -2 1 abziehen, sind wir bei -3. Und das kann man noch ein kleines bisschen zusammenfassen, indem man das ein oder andere ausrechnet. Das mach ich jetzt auch. Wir müssen ausrechnen 7/3×14/3. Das geht auch hoffentlich sehr bequem im Kopf, denn 7×14 ist ja 7×7×2. 7×7 ist 49, 2×49 ist 98. Also haben wir hier 98, ja, 3×3 ist 9 bitte schön. 98/9×e14/3, 14/3 sollten das sein, 14/3x+14/3. Ja ich schreib ein bisschen klein, glaub ich, aber naja, ich glaub, man kann es trotzdem erkennen. Ist ja fast das Gleiche wie vorher, nur dass ich halt hier die Brüche zusammengefasst habe. So, und da steht jetzt noch -1×(-2), das ist +2, das wollte ich noch zusammenfassen, also kommt hier hin +2×x^-3 und damit ist diese Ableitung erledigt. Weil es klein geschrieben ist, noch mal ganz nah in die Kamera hier. Das sollte das Endergebnis sein, viel Spaß damit, tschüss.

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