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Transkript Eulersche Zahl e – Erklärung mit Ableitung

Also es geht um die Zahl e. Die Zahl e hat eine komische Definition, und zwar ist das der lim n->?. Hast du die mal gemacht, die Definition? Am Anfang einmal. Vielleicht ganz kurz. Und dann nie wieder. Und dann vergessen. Ja sie wird auch meistens dann nicht noch mal erwähnt. Nicht wirklich. Und das ist die Definition der Zahl e, also 2,7 irgendwas ist das. Und die Frage ist jetzt. Wie kommt es zu dieser etwas merkwürdigen Definition? Es gibt ja eine herausragende Eigenschaft der e-Funktion. Ja. Und das ist die, dass die? Wenn man e ableitet, kommt so gesagt wieder der e-Term raus. Also, wenn man ex ableitet, kommt wieder e heraus oder eben auch 2ex beispielsweise auch, also bei jedem. Oder -3ex ist abgeleitet dann -3ex und man kommt auf dieses e, wenn man einfach fordert, von einer Funktion, dass sie gleich ihrer Ableitung sein soll. Also f(x)=f'(x) soll für alle x gelten, also die Ableitung soll überall gleich der Ausgangsfunktion sein. So und wie kommen wir von da nach da? Das ist die interessante Sache jetzt. Ja. Man kann dazu erst mal hier aufschreiben, was bedeutet überhaupt diese Ableitung. Die Ableitung ist der Grenzwert von ich sage jetzt erst mal h gegen 0. Ja. Von f(x+h), hättest du auch hinschreiben können, nicht? Nicht schlimm. Egal. Der Grenzwert von ((f(x+h)-f(x))/h). Ja. Jetzt können wir das ersetzen mit 1/n, um. Genau, um darauf zu kommen. Um darauf zu kommen. Aber eine Sache muss ich noch sagen. Das ist die Hälfte der Definition. Das muss ja immer von beiden Seiten gemacht werden. Ja. Oft wird das dann in der Schule nur so "brauchen wir nicht, machen wir nicht", aber korrekt wäre es natürlich oder muss es dann von beiden Seiten sein. Aber da verzichte ich jetzt hier mal drauf, um die Sache ein bisschen zu vereinfachen. Es geht ja nicht darum die Ableitung zu definieren, sondern wie kommt man auf diesen. Wie kommt man auf e. Genau und auf dieses komische Ding da. Man kann h ersetzen durch 1/n. Wir müssen das jetzt hier auch machen. Danke. Nein, das wollte ich nicht schreiben. Machst du noch mal? Ja, ist nicht so schön. Und zwar n->?. Ja. Wenn n->? geht, geht 1/n->0. Ja. Und h ist ja nur etwas, das gegen 0 geht. Mehr brauchen wir ja nicht. Ja. Das ist die Definition der Ableitung beziehungsweise die Hälfte davon. Wir können jetzt sagen, wenn wir mal den Limes weglassen, um jetzt mal rechnen zu können, wollen wir den mal weglassen. Man kann sagen, dass, wenn n genügend groß ist, was immer das heißen mag, genügend groß, dann gilt sicher, so ungefähr, dass f(x) ungefähr so groß ist. Kannst du hinschreiben? Nein. Der Bruchstrich soll immer in Höhe des Gleichheitszeichens sein, auch wenn es ein Ungefährzeichen ist. Bisschen größer. Das heißt f(x), nicht? ((F(x+1/n)-f(x))/(1/n)). Ok das ist sicher ungefähr gleich, wenn n genügend groß ist und das kann man jetzt ein bisschen umformen, und zwar kann man einfach mal 1/n rechnen, genau. Quatsch. Du kannst auch das Tuch haben. Ich kann auch Finger nehmen. Also ungefähr f(x+1/n)-f(x) steht da. Wird immer kleiner. Dann kann man das f(x)noch auf die andere Seite bringen, indem man einfach rechnet, +f(x). Das passt noch da unten hin, nicht?. Ja. Und dann komme ich gleich hier mit dem Distributivgesetz. Das ist immer noch das Ungefährzeichen da und dann kann man das f(x) ausklammern. Das mache ich jetzt mal hier f(x) mit dem Distributivgesetz ausklammern, nicht wahr? Das freundliche Distributivgesetz. Ich möchte hier diese 1, die da noch steht dann als Erstes hinschreiben. Ja, so. +1/n, so und da kommt zum ersten Mal 1/n. 1+1/n dieser Term ist ungefähr gleich f(x+1/n). So und jetzt kann ich mir überlegen: Was steht hier eigentlich? Ja. Hier steht ein Funktionswert und den multiplizieren wir mit dieser Klammer und erhalten einen darauf folgenden Funktionswert. Ja. Nämlich, der 1/n weiter ist in guter Näherung für genügend große n. Was passiert, wenn wir von f(x+1/n) eine Einheit 1/n weiter wollen? Dann suchen wir den Funktionswert f(x+2/n). Ja. Also die Überlegung, die wir hier gemacht haben. Ja. An der Stelle x. Die kann man ja genauso an der Stelle x+1/n machen und dann darauf schließen, was bei x+2/n passiert. Ja. Das bedeutet, wir müssen, in guter Näherung für genügend große n, den Funktionswert bei f(x+1/n) nehmen. Ja. Und multiplizieren mit 1+1/n. Und jetzt kommst du. Da kann man nämlich zusammenfassen, also wenn man das hier einsetzt. Mach das mal bitte? Was möchtest du wo eingesetzt haben? Statt das hier, dieses schreiben. Neue Gleichung. Ah, ok. Einfach nur, ach so da musst du dich jetzt so weit strecken. Ja, ich bin Rechtshänderin. Schön, dass hier kein f(x) mehr ist, nicht? Macht nichts! Schreib es dann hinterher. Ich hoffe das ist jetzt nicht verwirrend. Das hier ist das und dann kommt noch das hier dazu. Genau. Und was jetzt eigentlich passiert ist. Ist? Man kann das wegnehmen. Ja. Und hier zum Quadrat hinschreiben, nicht? Ja, weil es das Gleiche ist. Also was heißt das Gleiche, aber. Ja genau. Also, wenn man es mal nehmen würde. Genau, Quadrieren.  Was passiert jetzt, wenn da eine 3 steht? Dann steht da auch eine 3. Was passiert, wenn da x+n/n steht? Also dann haben wir f(x)×, dann lasse ich einen kleinen Abstand, weil da noch was kommt, ×(1+1/n)n. Ja. Und genau richtig. Das ist die 1. Und unser Traum ist ja jetzt, dass das nicht nur eine Näherung ist. Sondern. Da muss ich jetzt einen kleinen Sprung machen, damit das dann exakt ist. Ja. Das heißt, wenn jetzt n immer größer wird und diese Abschnitte, diese 1/n Abschnitte immer kleiner werden, das wird dann einfach. Den Limes nehmen. Genau, für n->? und das, was hier steht, das ist als e definiert. Ja. Das ist das e. Und dann ist das hier gleich. Und da sind wir noch nicht ganz fertig. Da kommt noch eine Kleinigkeit. Denn wir haben das ja für alle x gefordert. Wir können hier auch irgendwelche beliebigen x nehmen. Ich schreibe eben mal hier noch diese Definition hin, f(x)×e. Ja. Wir können für x auch 0 hinschreiben. Ja. f(0+1)=f(0)×e, wenn ich da 0 schreiben wieder nur, nicht? Das ist f(1). Ja, klar. Ja ist es. f(0+2), 0 schreibe ich jetzt nicht mehr hin. Ja. Ist dann. f(2). Von 0. Was? 2, oder nicht? e2. Ja. Und f(irgendwas), irgendeine Variable. Ich möchte jetzt nicht x nehmen, weil hier schon lauter x waren. F(t) zum Beispiel. F(t) ist dann? f(0)×e2. Das ist die e-Funktion. Ja. Und zwar, Anfangswert. Ja. Mal e-Funktion. Ja. Oder Vielfaches, also irgendeine Zahl, mal e-Funktion. Ja. Wenn man das ableiten würde, würde man wieder den gleichen Term haben. Genau und wir sind gestartet von der Sache aus, dass wir gesagt haben: Wir wollen, dass die Funktion gleich ihrer Ableitung ist, an jeder Stelle, haben ein paar Umformungen gemacht, sind dann auf diesen Term gestoßen, der sich unmittelbar ergibt daraus, und wenn man das als e definiert, das was sich daraus ergibt, wenn man fordert, dass die Ableitung gleich der Ausgangsfunktion sein soll, dann hat man eine e-Funktion beziehungsweise die Vielfachen von e-Funktionen und das sind die Funktionen, die gleich ihrer Ableitungen sind. Ja. Jetzt haben wir nicht gezeigt, dass das nur die sein können, wir haben nur gesagt, wenn man von der einen Überlegung ausgeht, kommt man zu e, beziehungsweise zu diesem Term. Deshalb ist e so definiert, wie es da steht. 

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