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Eulersche Zahl e 02:25 min

Textversion des Videos

Transkript Eulersche Zahl e

"  Hallo! In diesem Video geht es um die Eulersche Zahl. Wir betrachten eine allgemeine Exponentialfunktion ax (sie sieht ungefähr so aus.) und berechnen ihre Ableitung. Nach der Definition ist die Ableitung einer Funktion durch den Grenzwert von (f(x+h)-f(x))/h für h gegen 0 gegeben. Für unsere Exponentialfunktion bedeutet das: Limes von h gegen 0 von (ax+h-ax)/h. ax lässt sich ausklammern und, da es nicht von h abhängt, vor den Limes schreiben. Das ist die gesuchte Ableitung. Der Grenzwert existiert für alle a. Man kann sagen, dass es gleich Logarithmus a ist. Für uns ist das aber jetzt nicht so wichtig. Wir wollen lieber einen sehr interessanten Spezialfall, wo dieser Grenzwert gleich 1 ist, betrachten. In diesem Fall ist die Ableitung der Funktion die Funktion selbst. Das ist schon sehr bemerkenswert. Es existiert tatsächlich ein solcher Wert für a: Das ist die Eulersche Zahl. Sie wird mit e bezeichnet. Also, für e gilt: Limes für h gegen 0 von (eh-1)/h=1. Das ist eine der vielen möglichen Definitionen der Eulerschen Zahl e. Wie kann man aber diese Zahl berechnen? Wir betrachten h=1/n, für n groß. Das heißt, h ist klein, und es gilt: (e(1/n)-1)/(1/n)≈1. Das heißt, e1/n≈1+(1/n). Oder: e≈(1+1/n)n. Das heißt, die Eulersche Zahl kann man auch als Grenzwert von (1+1/n)n für n gegen ∞ berechnen. Dieser Grenzwert existiert, ist endlich, aber eher irrational und sogar transzendent. Eine gute Annäherung an die Zahl e ist zum Beispiel 2,71828. Soviel zur Eulerschen Zahl.   Danke für ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik! "

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Die kleinen n und h sehen sehen sich sehr ähnlich, trotzdem danke für das video.

    Von Christian S., vor 11 Monaten
  2. 644000 4916608436147 1148167494 n

    Schönes Video. Vor allem, weil es kurz und knapp gehalten ist!

    Von H Egal, vor fast 3 Jahren
9507067edd67644738c557309f92f2ed 1 Arbeitsblätter zum Video Anzeigen Herunterladen
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