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Transkript Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße

Hallo! In diesem Video geht es um den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was soll der Erwartungswert sein? Als Zufallsexperiment würfeln wir zweimal mit einem Tetraeder. Der hat genau vier Seiten. Und die Zufallsgröße x soll immer die Differenz dieser beiden Augenwerte beschreiben. Da die Augenwerte die Zahlen von 1 bis 4 sind, kann die Differenz nur Werte von 0 bis 3 annehmen. Und ohne jetzt noch mal genauer darauf einzugehen, wie die Wahrscheinlichkeiten zustande kommen, möchte ich die einfach angeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz 0 ist, 4/16. Die Differenz 1 hat die Wahrscheinlichkeit 6/16, 2 4/16 und 3 2/16. Das kann man noch schnell kürzen. Und wenn wir jetzt ganz viele Werte von x beobachten, können wir uns am Schluss fragen, was denn am Schluss im Durchschnitt für ein Wert rausgekommen ist. Und dieser Wert soll eben genau der Erwartungswert der Zufallsgröße sein. Jetzt machen wir das aber nicht genau wie beim arithmetischen Mittel, sondern wir wichten jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit. Also wir wissen ja schon, dass die 0 zum Beispiel mit der Wahrscheinlichkeit 2/8 auftritt. Also nehmen wir uns von der 0 nur 2/8. Dazu addieren von der 1 den Anteil 3/8. Von der 2 nehmen wir uns nur 2/8 und von der 3 1/8. Und diese Anteile werden dann jeweils aufaddiert. Die Summe der Anteile muss immer 1 ergeben. Sodass man quasi eine ganze neue Zahl aus verschiedenen Teilen anderer Zahlen zusammensetzt. Der Erwartungswert ist also das, mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete, arithmetische Mittel der Werte von x. Hier kommt übrigens 1,25 raus. Und das wäre dann also die durchschnittliche Differenz der beiden Augenzahlen. Jetzt zeichnen wir mal das Stabdiagramm dieser Zufallsgröße auf. Da liegt der Erwartungswert ungefähr hier. Man sieht hier insbesondere, dass der Erwartungswert nicht unbedingt ein Wert sein muss, den die Zufallsgröße wirklich annehmen kann. Und jetzt schauen wir uns mal die allgemeine Definition an: Sei x eine endliche Zufallsgröße, die genau die Werte x1 bis xn annehmen kann. Dann heißt die Kenngröße E(x)=x1×P(X=x1)+...+xn×P(X=xn) beziehungsweise ? über i=1 bis n von xi×P(X=xi) der Erwartungswert der endlichen Zufallsgröße x. Man multipliziert also immer den Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wert auftritt. Und diese Produkte summiert man dann über alle Werte auf. Als Beispiele betrachten wir jetzt noch mal 2 Zufallsvariablen. Die Zufallsvariable x, die die Werte 1, 3 und 5 annehmen kann, mit den Wahrscheinlichkeiten 0,45, 0,1 und 0,45. Und die Zufallsgröße y, die die Werte 1, 2, 4 und 5 annehmen kann, mit den Wahrscheinlichkeiten 0,2, 0,3, 0,3, 0,2. Die Stabdiagramme dieser beiden Zufallsgrößen sehen dann so aus. Der Erwartungswert von x berechnet sich jetzt durch 1×0,45+3×0,1+5×0,45. Das ergibt 3. Und diesen Erwartungswert hätte man tatsächlich auch erwartet. Denn rechts und links von 3 verteilen sich die Werte der Zufallsgröße identisch. Der Erwartungswert von y ist 1×0,2+2×0,3 und so weiter. Mittlerweile wissen wir schon, wie es geht. Und da kommt auch 3 raus, denn auch hier sieht man, dass sich um die 3 die Werte der Zufallsgröße gleich verteilen. Trotzdem ist die Verteilung der Zufallsvariablen sehr verschieden. Das heißt, ein gleicher Erwartungswert sagt noch nichts darüber aus, ob die Verteilungen tatsächlich ähnlich sind. Wenn man also einmal der Erwartungswert hat, wäre es also viel interessanter noch zu wissen, in welchem Maße sich die anderen Werte um den Erwartungswert herum gruppieren. Also, ob sich die Werte im Mittel sehr weit um den Erwartungswert streuen oder ob sie sich näher an ihm dran gruppieren. Und das kann man mit der Varianz ausrechnen. Die Definition sieht so aus: Sei x eine endliche Zufallsgröße mit dem Erwartungswert E(x), dann heißt folgende Größe Varianz von x. Wir nehmen uns einen Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, und ziehen davon den Erwartungswert ab. Weil dabei positive oder negative Differenzen herauskommen können, quadrieren wir das Ganze und multiplizieren dann mit der Wahrscheinlichkeit für diesen Wert. Das Ganze wird danach aufsummiert über alle möglichen Werte, die die Zufallsgröße annehmen kann. Also E([X-E(x)]²) und davon berechnen wir im Prinzip den Erwartungswert. Also die mittlere Abweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße. Da man in der Formel immer die Quadrate der Differenzen genommen hat, zieht man jetzt am Schluss wieder die Wurzel, um das sozusagen rückgängig zu machen. Und das heißt dann Standardabweichung der Zufallsgröße. Nehmen wir noch mal unsere Zufallsgröße von dem Tetraeder, die hatte den Erwartungswert 1,25, und berechnen deren Varianz. Wir nehmen also den Wert 0, ziehen davon 1,25 ab. Das Ganze wird quadriert und mit der Wahrscheinlichkeit für 0 multipliziert. Dann addieren wir (1-1,25)²×6/16 und so weiter. Das ergibt 15/14. Und als Standardabweichung also Wurzel aus der Varianz ergibt sich ungefähr 1,04. Das heißt, im Mittel weichen die Werte der Zufallsgröße um 1,04 vom Erwartungswert ab. Wenn wir uns das Stabdiagramm noch mal anschauen, dann können wir das auch bestätigen. Jetzt möchte ich auch noch mal auf unsere anderen beiden Beispiele zurückkommen. Ich schreibe noch mal die Wertetabellen auf und zeichne die Stabdiagramme. Bei beiden war der Erwartungswert 3 und wir wollen jetzt noch die Varianzen berechnen. Zur Varianz von x nehmen wir den Erwartungswert 3, ziehen den Wert 1 ab, quadrieren das Ganze und multiplizieren mit der Wahrscheinlichkeit, also 0,45. Dann ziehen wir 3 vom Wert 3 ab, quadrieren und multiplizieren mit 0,1. Und dann ziehen wir 5 von 3 ab, quadrieren und multiplizieren mit 0,45. Das ergibt 3,6 und damit eine Standardabweichung von ungefähr 1,9. Das bestätigt man auch, denn 90 Prozent der Werte haben ja den Abstand 2 vom Erwartungswert. Die Varianz von y berechnen wir genauso. Wir ziehen von dem entsprechenden Wert immer den Mittelwert ab, quadrieren und multiplizieren mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit. Das Ganze wird aufsummiert. Das ergibt 2,2. Und damit ist die Standardabweichung ungefähr 1,48. Auch hier passt das schön zu unserem Stabdiagramm, denn 60 Prozent der Werte haben den Abstand 1 und die anderen 40 Prozent der Werte haben den Abstand 2 vom Erwartungswert. Zum Schluss möchte ich noch auf 2 wichtige Eigenschaften hinweisen. Zum einen ist der Erwartungswert einer Summe von 2 Zufallsvariablen gleich der Summe der einzelnen Erwartungswerte. Das kann man sich kurz mal klar machen. Wenn zum Beispiel die Zufallsvariable x beschreibt, wie viele Tore Paulo bei 10 Schüssen schießt und er hat einen Erwartungswert von 7, und y beschreibt, wie viele Tore Martin bei 10 Schüssen schießt und er hat einen Erwartungswert von 4, dann beschreibt die Zufallsvariable x+y, wie viele Tore Martin und Paulo zusammen bei je 10 Schüssen schießen. Und das sind dann natürlich 7+4, also 11. Und die zweite Eigenschaft ist, dass auch die Varianz einer Summe von zwei Zufallsvariablen wieder gleich der Summe der einzelnen Varianzen ist. Okay, jetzt haben wir also 2 der wichtigsten Begriffe der Stochastik kennengelernt und ich hoffe mal, dass ein bisschen hängen geblieben ist. Das war es.

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17 Kommentare
  1. Default

    Danke Bruder hat mir mega zum Verständnis geholfen. =)

    Von Paul 18, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Sehr gut erklärt, habe es jetzt endlich auch mal verstanden. Dankeschön :)

    Von Johannamueller1997, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Echt gut! Danke! :)

    Von Thomasmaier, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    ...hat mich ganz schön durcheinander gebracht der "nicht fehler"... ansonsten gut:)

    Von Lisahalter, vor fast 2 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Ich würde nicht sagen, dass das ein Fehler ist. Es geht ja tatsächlich nur um die Beträge.

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  1. Default

    Ein Fehler ist drinnen,bei 6:50
    Die erste Varianz musste mit x-erwartungswert gerechnet werden, du hast es umgedreht
    Ist zwar am Ende das selbe aber nur zur Info :)

    Grūsse

    Von Christian Hahn, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    sehr gutes video!

    Von Nico Loew, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Gut erklärt!

    Von Msellhorn97, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Mir gehts auch so! endlich, bekomme ich ein verständnis dafür ! dankeschön steve

    Von Sirchillalot, vor mehr als 4 Jahren
  5. Default

    Hallo Steve,

    An erster Stelle riesen Dank für Dein klar durchstrukturiertes, anschauliches Video. EInfach Klasse!!!

    Ich habe da aber ein Kommentar am Rande zu den

    " 2 WICHTIGEN EIGENSCHAFTEN" am Ende des Videos

    Stochastisch ABhängig

    Sofern die Zufallsvariabeln stochastisch abhängig sind, ergibt sich sich der Erwartungswert aus der Summe der
    einzelnen Erwartungswerte.

    E(X+Y)= E(X) + E(Y)

    Paulo hat eine Treffquote von 7 zu 10 (d.h. bei 10 Schüssen trifft er 7 mal) E(X= 10)= 7
    Ricardo hat eine Treffquote von 4 zu 10 E(Y= 10)= 4

    Spielen beide gemeinsam und haben jeweils 5 Schüsse, so ergibt sich der gemeinsame E(X+Y) aus den jeweiligen Erwartungswerten E(X) + E(Y)- die durch die BEDINGTE WSK errechnet werden müssen!

    Bedingte WSK ergibt: 1) NEUE p(Paulo-Treffquote) unter Bedingung, dass er nur 5 Schüsse zur Verfügung hat, da
    er mit Ricardo spielt.

    2) NEUE p(Ricardo-Trefquote) unter Bedingung, dass er nur 5 Schüsse zur Verfügung hat, da
    er mit Paulo spielt.

    ==> E(X=5"Schüsse") = x1* p(Paulo-Treffquote) + x2* p(Paulo-Treffquote) +...+ x5* p(Paulo-Treffquote)
    ==> E(Y=5) = "-"

    ==> E(X=5 + Y=5)= E(X=5) + E(Y=5)

    **DEIN BSP** SIMPLER, aber lässt die Eigenschaft der stochastischen ABhängig ungeklärt:

    Gemeinsam haben Paulo und Ricardo, bei 20 Schüssen (sofern jeder 10 mal schießt)* ein gemeinsame
    Treffquote von 10 zu 20.

    ==> E(X+Y)= 10

    * diese Bedingung sofern jeder "10*schießen" darf, umgeht das Problem der Bedingten WSK,
    da die Anzahl der Versuche an die Bedingungen angepasst wird (echt clever!).

    ==> NORMALERWEISE: Ist es umgekehrt die WSK steht in Abhängigkeit zu der Versuchsanzahl.

    FRAGE:

    Hast Du mir ein praktisches Bsp. am besten mit Fußballer :) zum Störterm E(X*Y) = E(X) * E(Y),
    der bei stochastischer Unabhängigkiet gilt.
    Kann mir, das nicht pragmatisch Vorstellen!

    Grüße aus Nürtingen

    Von Yusith, vor etwa 6 Jahren
  6. Bewerbungsfoto

    Hallo Zeraphine,

    die 6,14 stimmt nicht. Wahrscheinlich hast du beim Eintippen in den TR etwas falsch gemacht:
    Var(X)= (1-3,5)^2*1/6 + (2-3,5)^2*1/6 + (3-3,5)^2*1/6 + (4-3,5)^2*1/6 + (5-3,5)^2*1/6 + (6-3,5)*1/6
    = 6,25 * 1/6 + 2,25 * 1/6 + 0,25 * 1/6 + 0,25 * 1/6 + 2,25 * 1/6 + 6,25 * 1/6
    = (6,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 6,25) * 1/6
    = 17,5 * 1/6 ist ungefähr 2,91

    Von Steve Taube, vor etwa 6 Jahren
  7. Default

    Hey!

    Echt super erklärt.Im Video hab ich noch gemeint ich habs verstanden,aber ich komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis bei der Varianz =(
    Also den Erwartungswert hab ich raus bekommen.
    Ich habe folgendes gerechnet:

    Var(X)= (1-3,5)^2*1/6 + (2-3,5)^2*1/6 + (3-3,5)^2*1/6 + (4-3,5)^2*1/6 + (5-3,5)^2*1/6 + (6-3,5)*1/6 = 6,14

    Wo ist denn da mein Fehler? Irgendwie komm ich nicht drauf.
    Danke schon mal für die Mühe =)

    Von Zeraphine, vor etwa 6 Jahren
  8. Default

    Genau das habe ich gesucht ! Vielen Dank für die Mühe

    Von Deleted User 11898, vor mehr als 6 Jahren
  9. Default

    E(X^2) = (x1)^2 *p1 + ......+ (xn)^2 * p2

    Von Deleted User 8376, vor fast 7 Jahren
  10. Default

    Ich habe versucht auf die Frage am Ende des Videos zu beantworten. E(X) = 3,5
    Aber kann ich die Varianz mi der anderen Formel ausrechnen(siehe unten)?
    In dem Video wurde diese Formel benutzt:
    Var(X) : = E((X-E(X))^2)

    Aber es gibt noch eine weitere Formel:
    Var(X) : = E(X^2)-E(X)^2
    Wie soll ich mit dieser Formel rechnen? Den Erwartungswert kenne ich doch. Was soll ich anstatt E(X^2) schreiben?

    Von Deleted User 8316, vor fast 7 Jahren
  11. Nsv mai2009

    Cool, ich habe Jahrelang mit Varianzen und Standardabweichungen gerechnet, ohne zu wissen, was sie überhaupt bedeuten. Jetzt weiß ich es.

    Von Nikolas S., vor etwa 7 Jahren
  12. Photo 2

    Super gemacht, jetzt hab ich's kapiert. Danke!

    Von Max M., vor mehr als 7 Jahren
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