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Transkript Erste Kombinationsregel – Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge

Hallo! Hier ist unsere Tafel mit den 4 Grundsituationen der Kombinatorik. Es geht jetzt um diesen Fall hier: n!/(n-k)!. Der bezieht sich, kann man sagen, auf die 1. Kombinationsregel. Man kann auch sagen, es ist Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge, oder man kann auch sagen, es ist das Verteilen von k unterscheidbaren Teilchen, auf n Boxen mit begrenztem Fassungsvermögen. Und die Situationen mache ich jetzt einmal vor. Also, wir haben gesagt, ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge. Hier habe ich 20 Zettel, da sind die Zahlen von 1-20 drauf, und ich kann jetzt ziehen: Die 1, wie praktisch. Ich habe die 1 gezogen, danach ziehe ich noch mal. Ich mache das jetzt wirklich nicht mit gucken oder so, das ist jetzt wirklich zufällig. Das ist die 9. Noch mal möchte ich ziehen: und die 16. Die Frage ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür nun, also aus diesem Behälter mit 20 Zetteln, 3 ohne Zurücklegen zu ziehen und die Reihenfolge dabei zu beachten? Für den 1. Zettel hatte ich 20 Möglichkeiten, denn es waren 20 Zettel hier drin. Dann habe ich ja einen herausgenommen, danach waren noch 19 da drin - also ich hätte noch 19 weitere Möglichkeiten gehabt, hier einen Zettel herausziehen und dann waren es noch 18 Möglichkeiten. Und das schreibt man halt so: Das ist 20!/(20-3)!. Und jetzt ist die Frage, wie kann man das verstehen, warum ist das, was hier steht, das gleiche, wie das, was hier steht? 20! bedeutet: 20×19×18 usw. bis ×1. Und (20-3)! bedeutet: 20-3=17, 17!. Das ist 17!, und das bedeutet wiederum 17×16× bis ×1. Und jetzt sieht man hier, wenn ich das da noch richtig ausgeschrieben hätte, 20×19×18×17 usw., dass man ab 17, hier alles kürzen kann. Ganz normales Kürzen, wie in der Bruchrechnung. Das ist ja eine Bruchrechnung. Es bleiben also nur noch hier die Faktoren 20,19 und 18 übrig, denn ab 17 wird alles gekürzt, also ist es das hier, und deshalb ist das hier die vernünftige Formel, wie man das machen kann. Noch mal zum Vergleich, wir hatten n!/(n-k)!. n ist also die Anzahl der Zettel, die hier drin sind, k ist die Anzahl, wie oft wir das hier ziehen. Wie viel Zettel wir rausnehmen. Ziehen, ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge. Nun kann ich aber auch die andere Grundsituation nehmen und unterscheidbare Teilchen auf Boxen verteilen, die ein begrenztes Fassungsvermögen haben, das bedeutet, es kann immer nur ein Teilchen in eine Box. So, die anderen brauche ich im Moment nicht. Und dazu kommen hier erst einmal die Boxen hin. Ja, wie viele nehmen wir mal? 5 glaube ich hatte ich in den letzten Versuchen. Nehmen wir mal 6, warum nicht? Und dann kann ich jetzt z. B. 3 unterscheidbare Teilchen, 1, 2, 3 auf diese Boxen verteilen, aber immer, wenn ein Teilchen in einer Box ist, dann ist die Box voll und dann geht es nicht mehr weiter. Für das 1. Teilchen habe ich 6 Möglichkeiten. Ich entscheide mich für die hier und müsste jetzt die Box zumachen, mit diesem Deckel. Dann habe ich habe jetzt nur noch 5 Möglichkeiten und nicht mehr 6 Möglichkeiten. Ich nehme die hier. So. Ja, das ist gar nicht so einfach den richtigen Deckel zu finden. Bisschen wie im Kindergarten, aber ... Jetzt kommt die hier zum Zug. Die ist jetzt auch voll. Es ist vielleicht ganz interessant, in diesem Zusammenhang aufzuschreiben, was ist eigentlich die Ergebnismenge, eines solchen Grundversuchs? Sie besteht erst mal aus 6 Tupeln, das sind also Anordnungen mit 6 Einträgen. Hier, am Anfang, haben wir nichts. Dann haben wir hier die 3, 2, nichts, 1, nichts. Ein 6 Tupel, bei denen hier die unterscheidbaren Teilchen eingetragen werden, da wo sie eben jeweils drin sind.  Auch dafür können wir diese Formel hier verwenden: n!/(n-k)!, denn wir hatten am Anfang 6 Möglichkeiten. Also das ist hier die Anzahl der Boxen, n. Am Anfang gab es 6 Möglichkeiten, dann war eine Box voll, dann hatten wir also nur noch 5 Möglichkeiten und dann noch 4 Möglichkeiten. k ist die Anzahl der unterscheidbaren Teilchen, die verteilt werden. Und das ist gleich 6!/(6-3)!.  6!, das schreibe ich jetzt mal aus, ist 6×5×4×3×2×1. (6-3)! ist, ja, 6-3=3. Also 3×2×1. Und dann sieht man gleich, das kürzt man alles. Es bleibt 6×5×4 übrig, und das ist dann das richtige Ergebnis - wir haben es gesehen. Allgemein gilt halt diese Formel. Und ich glaube, dann habe ich alles das dazu gesagt, was ich dazu sagen wollte.   Viel Spaß damit. Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Default

    Ah, okay. Das ist natürlich recht mißverstädnlich, wenn man die Formel für eine Variation unter 1. Kombinationsregel anführt. Aber das liegt dann ja an den Lehrwerken. Danke jedenfalls für die Ausräumung dieses Mißverständnisses.

    Von Gerdaboms, vor mehr als 3 Jahren
  2. Patrik

    In einigen Lehrwerken findet man die im Video genannte Formel " n! / (n-k)! unter dem Namen 1. Kombinationsregel.
    Wichtig ist nur: Die Formel im Video gilt für "Ziehen ohne Zurücklegen- mit Reihenfolge". Dies bedeutet Variation (geordnete Stichprobe/Beachtung der Reihenfolge) ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen). Also stimmt es mit deinem Buch diesbezüglich überein. Die Formel n!/ (k!*(n-k)! ist dann "Kombination ohne Zurücklegen".

    Von Patrik Strauch, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Hallo! Der Titel des Videos ist "1. Kombinationsregel". Die in diesem Zusammenhang im Video genannte Formel lautet:" n! / (n-k)!

    Nun habe ich mal in mein Mathemathikbuch Wirtschaft 11 - 13. Jahrgangsstufe geschaut, und bekomme unter Kombination folgende Formel angegeben:
    Ohne Wiederholung: n!/ (k!*(n-k)!)

    Die im Video angegebene Formel finde ich in meinem Buch hingegen unter Variation ohne Wiederholung. Wo liegt der Fehler?

    Von Gerdaboms, vor mehr als 3 Jahren