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Transkript Eigenwerte und Eigenvektoren – Übung

Ja, hallo und willkommen. Es geht um Eigenvektoren und Eigenwerte. So, was brauchen wir dazu? Wir müssen eine quadratische Matrix holen, quadratische Matrix brauchen wir. Einen Vektor, einen geeigneten Vektor, mit n Komponenten und einem Skalar, nennen wir ihn λ. Dann schauen wir uns einmal folgende Vektormatrixgleichung an. Falls es einen Vektor v^-> gibt, der, wenn wir ihn durch die Matrix A ziehen, wieder auf sich selbst bis auf den Vorfaktor abgebildet wird, dann nennt man diesen Vektor einen Eigenvektor. Das ist dann ein Eigenvektor. Und das ist nicht irgendein Eigenvektor, sondern ein Eigenvektor dieser Matrix zum Eigenwert λ. λ ist der Eigenwert. So. Wenn es einen Vektor v^-> gibt, der, so durch die Matrix gezogen, auf sich selbst ×λ abgebildet wird, dann nennt man diesen Vektor Eigenvektor zum Eigenwert λ und die Frage ist natürlich jetzt: Wie kommt man denn, wie findet man solche Eigenvektoren und die dazu gehörigen Eigenwerte? Und das geht wie folgt. Zunächst erstmal brauchen wir noch eine Einheitsmatrix und das ist auch eine n Kreuz n Matrix. Und wie sieht die aus? Naja, das ist die, die auf der Hauptdiagonale lauter Einsen hat und sonst überall außerhalb dieser Hauptdiagonale Nullen stehen hat. Gut, dann schauen wir uns mal an, was wir jetzt hier machen können. Zunächst schreiben wir uns diese Gleichung noch mal hin und wir können auch noch zwischen den Skalaren λ und dem Vektor v^-> noch eine Einheitsmatrix einschieben, das ändert überhaupt nichts, wenn wir diesen Vektor, was auch immer das für ein Vektor ist, wir kennen ihn ja noch gar nicht, durch diese Einheitsmatrix ziehen. Da kommt wieder Vektor heraus, nämlich v^->. Insofern kann man das schon machen. So, was wir jetzt als nächstes tun ist, dass wir diesen Term, der einen Vektor darstellt, wenn wir diesen Vektor durch die Matrix ziehen, haben wir diesen Vektor, also Vektor×λ, wie es hier steht, den ziehen wir mal, betrachten das also als Gleichung hier, die beiden, und schreiben das mal hin. Jetzt subtrahieren wir diesen Term auf die Seite, dann erhalten wir auf der anderen, auf der rechten Seite, einen Nullvektor und was wir jetzt hier noch machen können ist, dass wir diesen Vektor v^-> ausklammern. Übrig bleibt eine Matrix, eine Matrix, und die also aus unserer Matrix A und einem noch unbekannten λ und der Einheitsmatrix besteht, in dieser Weise. Und worum es jetzt also geht, ist, dieses Gleichungssystem zu lösen. Wir suchen also einen Vektor, der durch diese Matrix auf 0, auf den Nullvektor, abgebildet wird. Dazu brauchen wir zunächst einmal ein λ und die Matrix, diese Matrix mit der verschobenen Hauptdiagonalen, muss eine Bedingung erfüllen, damit es eine Lösng gibt. So was nennt man ein homogenes Gleichungssystem und die Bedingung lautet, dass die Determinante dieser Matrix verschwindet. Die Determinante muss 0 sein. Und jetzt gilt es, dieses λ so zu bestimmen, dass genau das der Fall ist. Das ist das, als Funktion von λ betrachtete, das sogenannte charakteristische Polynom der Matrix A und wir suchen die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms. Also dieses charakteristische Polynom heißt χ(λ), ist also definiert als Determinante dieser Matrix mit verschobener Hauptdiagonale und als Funktion von λ. Nennt man also das charakteristische Polynom und wir suchen jetzt, wir suchen jetzt diejenigen λ, die aus diesem charakteristischen Polynom die 0 machen. Wenn wir die gefunden haben, haben wir auch die entsprechende Matrix und können dieses Gleichungssystem nach v^-> auflösen. Also noch mal: Wie finden wir für eine gegebene Matrix A den Eigenvektor und den zugehörigen Eigenwert? Indem wir in einem ersten Schritt Eigenwerte bestimmen. Das sind diejenigen Zahlen λ, für die die Determinante dieser Matrix verschwindet. Und einem zweiten, einem zweiten Schritt, wenn wir dann die λ's, also das führt auf die Eigenwerte, das sind reelle Zahlen. In einem zweiten Schritt, wenn wir die λ's bestimmt haben, können wir diese Matrix hinschreiben, uns ist ja diese Matrix bekannt, lösen wir dann dieses Gleichungssystem. Versuchen, einen Vektor v^-> zu finden. Und dann führt das also auf den Eigenvektor v^->, der in diesem Fall, also falls die Matrix A eine n Kreuz n Matrix ist, die in diesem Falle auf einen Vektor mit den Komponenten führt. Machen wir das mal an einem Beispiel klar. Was nehmen wir da? Nehmen wir mal eine schöne Matrix und versuchen mal, dass das jetzt A ist, Matrix A, die Eigenvektoren und die dazugehörigen Eigenwerte dieser Matrix zu bestimmen. Also, nehmen wir den ersten Schritt und rechnen mal die Determinante dieser Matrix aus. So, was müssen wir jetzt machen? Die Matrix Skalar multiplizieren mit λ, das Ganze zusammenbringen. Wenn wir das tun, die beiden hier gehen zusammen, 2-λ, hier bleibt die 0, 3-λ, die untere Komponente und für oben haben wir dann die 1. So. Jetzt geht es also darum, die Determinante dieser Matrix, ein λ zu finden, was die Determinante dieser Matrix zu 0 macht. Wenn wir die Determinante berechnen, dann multiplizieren wir hier diese beiden, diese beiden Elemente und ziehen davon das Produkt dieser beiden ab und heraus kommt das charakteristische Polynom χ(λ) und die Nullstellen kann man direkt sehen. Das sind die 2 und die 3. 2 und die 3 sind also die Eigenwerte der Matrix A, und jetzt geht es darum, noch die Eigenvektoren zu finden. So, die Eigenvektoren. Wie finden wir die Eigenvektoren? Indem wir dieses für jedes λ dieses Gleichungssystem lösen. So, das können wir ja jetzt mittlerweile, diese Matrix ist uns bekannt, und jetzt gucken wir uns das mal an. Für den Eigenwert 2 sieht die Matrix, wie sieht sie aus? Rechnen wir sie mal aus. Die Matrix hat den Wert, wie sieht sie aus, 0, 1, 0, 1. Aha. Und jetzt geht es also darum, dieses Gleichungssystem zu lösen. Ja. Welcher Vektor erfüllt das, welcher Vektor steht, ergibt Skalar multipliziert mit diesem Zeilenvektor die 0? Irgendeiner. Nehmen wir irgendeinen, nennen wir ihn v1^->, und das ist genau der Vektor (0;1), das sieht man direkt. Der Vektor (0;1) ergibt im Skalarprodukt mit diesen beiden, also mit dem hier, die 0. So, da hätten wir also jetzt den Eigenvektor zum Eigenwert 2 gefunden. So. Nehmen wir uns mal die Matrix vor für λ2, also für 3, setzen wir das mal ein, λ2, was ist das, 2-3, also ich schreib es mal hin, λ2, 0, 3-λ2, es geht also darum, nennen wir dieses mal den Eigenvektor w^->. Es geht darum, jetzt dieses Gleichungssystem zu lösen. Setzen wir das mal ein, 2-3, das ist -1, 1, 0 und 0. Welcher Vektor erfüllt das wohl? Naja, das ist der Vektor (1;1) oder jedes Vielfache davon erfüllt dieses Gleichungssystem. Ergibt also hier den Nullvektor. Damit hätten wir für den Eigenwert 3 den Eigenvektor w^-> gefunden, also er ist (1;1), der Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert 3. Das werden wir jetzt gleich mal überprüfen, indem wir das mal nachrechnen. Also die Matrix A hat diese Form. Wenn wir uns mal diesen Vektor nehmen und ihn durch die Matrix ziehen, was ergibt sich jetzt? Im Skalarprodukt dieses Vektors mit diesem Zeilenvektor ergibt 2, und das Skalarprodukt mit diesem Vektor, dieses Vektors mit diesem Zeilenvektor ergibt die 0. Dann könne wir die 2 hier herausziehen, als Skalar, und in der Tat: Der Eigenvektor, dieser Verktor, der Einheitsvektor hier, ist tatsächlich ein Eigenvektor zum Eigenwert 2. Und wenn wir uns jetzt mal den zum Eigenwert 3 nehmen, schauen wir uns mal an, was der ergibt. Den durchziehen, durch die Matrix, was ergibt das? Das Skalarprodukt dieses Vektors mit diesem Zeilenvektor ergibt 2+1 sind 3 und 0 und 3. In der Tat, in der Tat. Der Vektor (1;1) ist Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert 3. Wir sehen also, der Vektor wird durch diese Matrix auf sich selbst abgebildet ×3. Ja und das war es auch schon zu den Eigenvektoren und Eigenwerten.

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6 Kommentare
  1. Default

    Hallo Lutz,

    klasse gemacht, super verständlich, danke!

    Von Badma, vor mehr als 5 Jahren
  2. Default

    Hallo,
    hier konnte man die Eigenvektoren raten. Du musst die Matrix-Vektor-Multiplikation verstehen und vielleicht nochmal üben. Systematisch geht es so:
    das LGS für den entsprechenden Eigenvektor lösen. Du musst also in der Lage sein, von der Matrix-Vektor-Gleichung auf
    das LGS zu kommen und es dann zu lösen. Bsp. w=(w1,w2), das LGS zum Eigenwert 3 ist nur eine Gleichung, nämlich -w1+w2=0. Die zweite Gleichung 0 * w1 + 0 * w2 = 0 stellt keine Anforderungen an die Komponenten von w. Sie ist daher uninteressant.
    Man sucht jetzt einen Vektor, dessen Komponenten diese Gleichung erfüllen. Man hat hier einen Freiheitsgrad, d.h. man kann eine
    Zahl frei wählen, z.B. w2, ungleich Null bitte(warum?). Dann ist w=(w1,w2)=(w2,w2)=w2(1,1) so ein Vektor. Für alle Zahlen w2(nicht Null) ist w jetzt ein Eigenvektor.

    Von Lutz Klaczynski, vor fast 6 Jahren
  3. Default

    Ich verstehe alles nur nicht wie man vom LGS auf den Eigenvektor kommt.

    Für mich ist das nicht lösbar. Keine ahnung wie das gemacht wird. Würde mich auf einer Antwort freuen.

    Von Studi2010, vor fast 6 Jahren
  4. 02102010082

    Super erklärt man

    Von Massi, vor fast 6 Jahren
  5. Default

    +1

    Von Ralweb, vor mehr als 6 Jahren
  1. Ich

    Es hat nen Weilchen gedauert aber jetzt hab ichs gecheckt. und ich muss sagen das mir dein Video da deutlich mehr geholfen hat als das tutorium oder das Skript. Also vielen Dank und weiter so!
    Gruß vom Dude

    Von Der Dude, vor fast 7 Jahren
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