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Transkript Eigenwerte – Übung

Wir kommen zum Übungsvideo zur Berechnung von Eigenwerten. Weiter geht's mit dem nächsten Beispiel diese Matrix gegeben und wenden nun wieder unsere Formel an. Als Erstes den Vorfaktor 1/2 reinmultiplizieren, hier geht es also immer noch um unsere Matrix M. Jetzt λ auf der Hauptdiagonalen abziehen. Dann haben wir die Matix M - λE und schließlich die Determinante davon. Dann haben wir nämlich - λ × die Unterdeterminante, die sich ergibt, wenn wir die erste Zeile und die erste Spalte streichen, + 0 + 0, da in der ersten Spalte ansonsten nur wieder Nullen stehen und 0 × irgendwas immer Null ist. Berechnen wir nun diese 2-Kreuz-2-Determinante noch. Dann erhalten wir dieses Ergebnis, wir sehen, dass der letzte Teil 0 ist, und erhalten somit wie erwartet nur das Produkt unserer Hauptdiagonalelemente. Da die beiden Klammerausdrücke identisch sind, können wir auch schreiben, diesen Ausdruck ins Quadrat. Dies müssen wir nun wieder gleich 0 setzen und daraus die Lösung für λ berechnen. Eine Lösung ist wieder -λ=0, also λ=0, und als nächste Lösung, diese Klammer ins Quadrat = 0. Lösen wir das nach λ auf, erhalten wir λ2,3 = -1/2. Wir haben hier also zweimal den exakt gleichen Eigenwert, also -1/2 für λ2 und für λ3. Sowas nennt man doppelten Eigenwert. Der betragsgrößte Eigenwert, beziehungsweise der Betrag des betragsgrößten Eigenwertes, ist wieder unser Spektralradius, oft mit dem Buchstaben ρ abgekürzt. In diesem Fall also 1/2. Kommen wir zum letzten Beispiel, also Beispiel 3. Gegeben haben wir diese Matrix. Die Struktur dieser Matrix sieht sehr einfach aus, und tatsächlich ist die Berechnung der Eigenwerte hier recht simpel. Wir schreiben uns zunächst unsere Matrix hin, multiplizieren dabei den Faktor ½ wieder rein, ziehen dann λ auf der Hauptdiagonale ab und berechnen schließlich die Determinante. Da diese alle identisch sind, können wir gleich schreiben: -λ+1/2 ^ 3. Dies soll gleich 0 sein und wir sehen leicht, dass die einzige Lösung λ=1/2 ist. λ1, λ2 und λ3 sind also 1/2. Wir sprechen von einem dreifachen Eigenwert. Der betragsgrößte Eigenwert und damit der Spektralradius unserer Matrix M ist somit logischerweise auch 1/2. Die Zusammenfassung ist diesmal recht kurz. Ein Skalar λ ist dann Eigenwert einer quadratischen Matrix A, wenn er die Gleichung Ax=λx löst, beziehungsweise zu dem Eigenwert gehörige Vektoren x aus dem Rn, die nicht der Nullvektor sind, existieren, sodass diese Gleichung Ax=λx gelöst wird, und wir können diese λ, diese Eigenwerte, berechnen, indem wir von der Matrix A auf der Hauptdiagonalen λ abziehen, davon die Determinante berechnen und diese gleich 0 setzen. Die Lösung dieser sogenannten charakteristischen Gleichung sind dann unsere Eigenwerte. Den Betrag mit dem größten Eigenwert einer Matrix nennen wir dann Spektralradius, bezeichnet mit dem kleinen Buchstaben ρ. Das war's, Ciao.  

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Damian Jaskoll:
    Hier wurde der LaPlace´sche Entwicklungssatz angewendet. Du kannst alternativ auch die Regel von Sarrus anwenden.
    Nach LaPlace lautet der erste Teil des Satzes für eine 3x3-Matrix: a11 * (-1) ^(1+1) det( a22 a23 // a32 a33)
    aij stehen hier für die Einträge nach Zeilen uns Spalten. Da a21 und a31 Null sind, ergibt sich eben nur dieser Ausdruck für die Determinante:
    - λ *det ( ...), weil der erste Eintrag a11= - λ ist.
    Bei dem zweiten Ausdruck im Entwicklungssatz hätte sich das Vorzeichen umgedreht. Da er aber 0 ist, ergibt sich das von selbst.
    Das hat mit der Matrix also an sich nichts zu tun.
    Schau dir dazu auch nochmal die folgenden Videos an:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/laplacescher-entwicklungssatz-fuer-determinanten
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/determinanten-von-2x2-und-3x3-matrizen
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Ich verstehe leider nicht, wieso bei 0:50 die 2x2 Matrix (zur Determinantenberechnung) ein negatives Lambda davorsteht. Wenn A hoch i und j = gerade, nimmt man doch ein positives Vorzeichen.
    Hoffentlich kann mir jmd weiterhelfen :)

    Von Damian Jaskolla, vor mehr als einem Jahr