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Transkript Eigenschaften symmetrischer Matrizen

Im Folgenden werde ich vorführen, welche Eigenschaften symmetrische Matrizen haben. 1., dass die transponierte Matrix gleich der Ursprungsmatrix ist. 2. Das Produkt der Matrix A×B ist gleich der transponierten Matrix B×A. Und 3. Die Determinante der Produktmatrix A×B ist gleich der Determinante von der Produktmatrix B×A. Zunächst aber die Definition: Nur quadratische Matrizen können symmetrisch sein. Allgemein sieht die Matrix so aus. Wobei das Element a12=a21 ist bzw. a13 =a31 usw. D. h., die Matrix ist an der Hauptdiagonale a11, a22, a33 gespiegelt und somit gilt, dass die transponierte Matrix gleich der Ursprungsmatrix ist. Das bedeutet insbesondere, dass der erste Spaltenvektor dem ersten Zeilenvektor entspricht, der zweite dem zweiten usw. Eine Besonderheit ist die Multiplikation zweier symmetrischer Matrizen miteinander. Dabei gilt folgende Regel: Die Produktmatrix A×B ist gleich der transponierten Produktmatrix B×A, denn (B×A)' (transponiert) = A'×B' = A×B. Bitte nicht verwirren lassen: Mein "Mal"-Punkt sitzt oft etwas tief. Diese Eigenschaft werde ich jetzt allgemeingültig veranschaulichen. Nehmen wir 2 2x2-Matrizen A und B. Wir multiplizieren einfach die Matrizen aus und erhalten als Ergebnis diese Produktmatrix. Jetzt versuchen wir es umgekehrt, also B×A. Dabei erkennt man an den Farben, dass das Element a12 gleich dem Element a21 ist und b12 dem Element b21 ist. Und jetzt transponieren wir die Produktmatrix von B×A. Daraus ergibt sich die Produktmatrix A×B. Um die Lösung noch deutlicher zu zeigen, werde ich jetzt ein numerisches Beispiel geben. Gegeben sind die Matrizen A=(2,3,3,1) und B=(1,4,4,(-6)). Zunächst multiplizieren wir die beiden miteinander. Dann suchen wir das Ergebnis von B×A. Man sieht wieder, dass offensichtlich (B×A)'=A×B ist. Noch eine Eigenschaft, die daraus folgt, ist die Gleichheit der beiden Determinanten der Produktmatrizen, d. h., die Determinante von A×B ist gleich der Determinanten von B×A. Und nun rechnen wir die Determinanten von unserem vorherigen Beispiel aus. Wie ihr seht, sind die beiden gleich.

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1 Kommentar
  1. Default

    Wenn Du mit Beispielen zeigen willst, dass AB = BA, dann solltest Du beide Ergebnismatrizen gleichzeitig präsentieren. Als Lerner hat man ja nicht die Beispielzahlen aus der ersten Rechnung auswendig im Kopf!

    Von Schlaumeier, vor fast 6 Jahren