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Transkript Ebenengleichungen in Parameterform aus drei Punkten

Hallo. Wir haben 3 Punkte gegeben und möchten eine Ebene erzeugen, in der diese drei Punkte liegen. Die Ebene soll praktischerweise die Parameterform haben. Zunächst einmal anschaulich, wie kann man sich das vorstellen, was man da machen muss? Wir haben 3 Punkte. Das bedeutet auch, wir haben 3 Ortsvektoren, die zu den Punkten hinführen. Wenn wir eine Ebene haben wollen, in der diese 3 Punkte liegen, dann sehen wir zunächst einmal, dass wenn diese 3 Punkte nicht auf einer Geraden liegen, dann ist diese Ebene auch eindeutig bestimmt. Das ist das Gleiche wie, wenn man ein Tablett auf 3 Fingern hält, dann kippt es auch nicht. Die Ebene ist also zunächst einmal eindeutig bestimmt durch diese 3 Punkte, weil diese nicht auf einer Geraden liegen. Zum Anderen ist jetzt die Frage: Wie kriegen wir jetzt die Parameterform oder die Parameterform einer solchen Ebene? Nun, wir brauchen einen Stützvektor. Wir können zum Beispiel diesen Grünen hier nehmen, der führt ja zu einem Punkt der Ebene. Wenn das jetzt zum Beispiel A ist, dann ist das ja ein Punkt der Ebene. Den können wir schon mal als Stützvektor verwenden. Dann brauchen wir 2 Richtungsvektoren und können dafür die Differenzvektoren dieser Punkte verwenden. Wir können also zum Beispiel den Vektor als Richtungsvektor verwenden, der von A zu B führt, dieser Differenzvektor hier, und als zweiten Richtungsvektor könnten wir den Vektor verwenden, der von A zu C führt. Dann ist die Ebene schon fertig. Wir könnten natürlich auch diesen Richtungsvektor hier verwenden, und wir könnten natürlich auch einen anderen Punkt oder einen Ortsvektor des Punktes als Stützvektor verwenden, das ist egal, ich zeige das hier nur exemplarisch mit einem A, einem Richtungsvektor, der von A zu B führt, und einem anderen Richtungsvektor, der von A zu C führt. Was müssen wir konkret machen, um so etwas zu erhalten? Ich schreibe das einmal allgemein auf, ohne diese konkreten Zahlen hier zu verwenden. Wir suchen also eine Ebene in Parameterform, die soll einen Stützvektor s haben. Der Stützvektor s soll in unserem Fall der Vektor sein, der vom Punkt 0 zum Punkt A führt. Den schreibt man 0A. Dann brauchen wir einen Parameter, ich nehme mal hier das λ. Oft macht man das mit griechischen Buchstaben, manchmal aber auch nicht, also das ist einfach ein Buchstabe für einen Parameter. Dann habe ich gesagt, der erste Richtungsvektor sollte der sein, der von A zu B führt. Das heißt, wir brauchen die Differenz von B und A. Wir müssen den Vektor, der zu B führt, minus den Vektor, der zu A führt, ausrechnen. Dann kriegen wir den Vektor, der von A zu B führt. Falls Dir das nicht geläufig ist, hier erkläre ich das nicht, das ist am Anfang gewesen, bei den Additionen und Subtraktionen von Vektoren, zeige ich jetzt in dem Zusammenhang nicht. Dann brauchen wir einen zweiten Parameter, hier μ genannt, aber den kann man natürlich auch anders nennen. Wir brauchen einen zweiten Richtungsvektor, und zwar den, habe ich gesagt, der von A zu C führt. Dazu müssen wir C - A rechnen, das kommt dann später, hier ist erst mal der Vektor von A zu C. So sieht es allgemein aus, und jetzt kann ich hier einfach die Zahlen einsetzen. Unsere Ebene konkret lautet dann: Sie besteht aus allen Vektoren x mit der Form: Stützvektor, also der Vektor, der vom Ursprung zu Punkt A führt. Der hat die Koordinaten ( -1 | 2 | 2 ) + λ * der Richtungsvektor, der von A zu B führt, wir müssen B - A rechnen, wir rechnen also 2 - -1, das ist 3, -3 - 2 ist -5, 2 - 2 ist 0. Plus μ * der zweite Richtungsvektor, also der Vektor, der von A zu C führt. Das heißt, wir müssen C minus A rechnen. Das ist dann also 4 - -1, das ist also 5, 1 - 2, das ist -1, 1 - 2 ist -1. Und das ist jetzt die Parameterform, die wir durch diese Aktion hier erhalten haben. Die 3 Punkte, A, B und C liegen in dieser Ebene hier in Parameterform. Ja, das war es hierzu. Viel Spaß, tschüss.

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