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Transkript Ebenengleichungen in Parameterform aufstellen

Hallo, wir haben folgende Situation: Ein Würfel ABCDEFGH, so heißt er, ist gegeben. Er hat die Kantenlänge 4. Der Punkt A, der Eckpunkt A des Würfels, liegt im Koordinatenursprung und wir haben die Seitenmitten. M1 das ist die Seitenmitte AEFB, dieser hier, und wir haben den Punkt M2, das ist der Mittelpunkt der Seite ADHE. Und hier sind die Koordinaten gegeben dieser Punkte. Wir haben auch die Koordinaten von E, die anderen Koordinaten kannst du dir auch relativ schnell bestimmen, das ist hier nicht unbedingt erforderlich. Es ist ein Dreieck gegeben, und zwar das Dreieck M1M2E. Gefragt ist: Bestimmen Sie eine Ebengleichung in Parameterform und in Koordinatenform einer Ebene oder der Ebene, die durch die Eckpunkte des Dreiecks M1M2E geht oder durch diese Punkte verläuft, oder so dass M1,M2,E Punkte dieser Ebene sind. Wie immer man das formulieren will. Ich hab's hier noch mal so bisschen vorbereitet. Hier außenrum das ist der Würfel mit der Kantenlänge 4 und hier drin ist das Dreieck. Da ist ein Dreieck hineinkonstruiert, hier sind die Seitenmitten und ja, ich dreh das mal ein bisschen. Ich weiß nicht, was die schönste Perspektive ist für dich, wie du es am besten sehen kannst. Ist ein bisschen Geschmackssache. Also so sieht das aus und wir sollen jetzt also eine Ebene bilden, die so hier verläuft, durch dieses Dreieck hindurch, wie man so sagt. Ja, und das werde ich jetzt einfach mal machen. Das läuft ganz standardmäßig ab. Ich fang mal an mit der Ebenengleichung in Parameterform. Die Ebene, hier mit dem Doppelstrich geschrieben, weil es eine Punktemenge ist, ist was anderes als dieses E hier. Ja, hier ist ein Doppelstrich an dem E, da ist kein Doppelstrich. Da ist ein Punkt und das ist eine Ebene. Manche machen das mit Doppelstrich, manche nicht. Also du weißt, jetzt kommt hier eine Ebene. Das sind alle Vektoren x->, die die Eigenschaft haben, dass wir einen Stützvektor haben, s->, klein s ist das, und dieser Stützvektor, zu dem wird addiert Lambda×ein Richtungsvektor, zum Beispiel r1->. Richtungsvektor,uuuh nein ein bisschen schön machen hier. Richtungsvektor r1->. Ja ich mache immer nur so halbe Pfeile hier oben. Ich weiß nicht, ob das. Ja manchmal ist es Standard, manchmal nicht. Und das sind Vektoren hier. Und µ×r2->, das ist der zweite Richtungsvektor, das sollte bis dahin jetzt kein Problem sein. So sieht eine Ebenengleichung in Parameterform aus und wir brauchen einen Stützvektor. Wir haben einen Stützvektor, der ist zum Beispiel E, warum nicht. Dann kann ich auch noch die beiden Richtungsvektoren bilden. Der eine Richtungsvektor, ich mach hier mal so Striche hin. Der eine Richtungsvektor r1-> soll sein, zum Beispiel, was habe ich mir da vorgestellt? M1-E. Also M1 hat die Koordinaten (2,0,2)- E(0,0,4). Dann ist r1-> jetzt = ja 2-0=2, 0-0=0, 2-4=-2. R2-> ergibt sich fast genauso. Ich glaub, ich schreib die Rechnung nicht ganz hin. Wir haben M2-E. M2 ist (0,2,2). (0,2,2)-(0,0,4) ist (0,2 und -2). Damit haben wir die beiden Richtungsvektoren und die Ebene kann nun folgendermaßen aussehen: der Stützvektor war ja sowieso schon klar. Das ist, das soll der Punkt E sein, also der Ortsvektor, der zum Punkt E führt, genauer gesagt. Also haben wir: Alle Vektoren x-> die gleich sind (0,0,4)+Lambda×(2,0,-2)+µ×(0,2,-2). Also alle Vektoren, für die das hier gilt, die diese Form hier haben, für beliebige Zahlen Lambda und µ. Alle diese Vektoren bilden diese Ebene, die also gesucht war.  Hier ist sie dann in Parameterform. Ja und wie das in normalen Formen funktioniert, zeige ich im zweiten Teil. Bis dahin. Viel Spaß. Tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    Den Ortsvektor kann man wählen wie man will. Muss nur auf der Ebene liegen

    Von Stockem, vor mehr als 6 Jahren
  2. Default

    warum ist E der ortsvektor? M1 ist doch der Ortsvektor!

    Von Temtec, vor mehr als 7 Jahren
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