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Transkript Ebenengleichungen in Koordinatenform – Erklärung

Bemerkung: Der Tutor verwendet sehr häufig die Worte „diese, also und hier“.   Als geschriebener Text liest sich das Gesprochene etwas wirr …   Hallo. Die Koordinatenform ist eine von drei Möglichkeiten, Ebenen im dreidimensionalen Raum darzustellen. Wir haben ja die Normalform, die Parameterform und die Koordinatenform und um die letzte geht es hier in diesem Film. Ja, wir können uns einmal ansehen wie das aussieht. Eine Koordinatenform sieht grundsätzlich so aus: a×x + b×y + c×z. Dabei sind a, b, c, und d bestimmte, reelle Zahlen. Das können beliebige, reelle Zahlen sein, das ist ganz egal. Immer wenn man jetzt x, y und z findet, also drei Zahlen die man für x, y und z einsetzen kann, so dass diese Gleichung erfüllt ist, dann kann man ebenso feststellen dass die Punkte, die diese x, y und z Koordinaten haben, alle auf einer Ebene liegen. Das habe ich hier auch noch einmal aufgeschrieben. Alle Punkte, P(x/y/z) des dreidimensionalen Raums, die die Gleichung a×x + b×y + c×z = d erfüllen, liegen auf einer bestimmten Ebene. So ist diese Koordinatenform also zu verstehen. Und dann braucht man noch ein Beispiel. Das ist hier: -2×x + 5×y + 7×z = 1 und immer wenn man jetzt für x, y und z Zahlen einsetzt und die Gleichung richtig ist, dann kann man eben feststellen, dass die Punkte, die diese Koordinate haben, alle auf einer bestimmten Ebene liegen. Ja, wie kann man denn die Sache jetzt verstehen? Warum ist das eine Ebene und warum ist das keine Kugel oder irgendwie etwas Anderes? Wir erinnern uns an die Geraden-Darstellung. Da gibt es ja einmal etwas, das Du in der Mittelstufe gemacht hast y + m×x = b. Aber dann gab es auch die Geraden-Darstellung in dieser Form: a×x + b×y = c. Das hat den Vorteil, dass man auch Geraden in dieser Form darstellen kann, die parallel zur Y-Achse sind. Also wir gehen einmal davon aus, dass wir das schon wissen, dass a×x + b×y = c eine Gerade definiert, wenn wir also bestimmte Zahlen a, b und c haben. Das kann man sich auch einmal vorstellen. Das habe ich einmal vorbereitet. Wir haben hier x-y=1, das ist diese Gerade hier. Wenn Du Dich fragst was ist a, was ist b und was ist c? A ist dabei 1, also wir haben 1×x; b ist -1 und c ist 1. Also man könnte hier dann auch etwas umständlich sagen 1×x + (-1)y =1. Diese Gerade kommt heraus, kann man so sagen. Natürlich ist das nicht ganz richtig. Genau gesagt immer dann, wenn wir Zahlenpaare finden XY, die diese Gleichung erfüllen und diese Zahlenpaare hier als Punkt in das Koordinatensystem eintragen, dann liegen diese Punkte hier alle auf dieser grünen Geraden. Na ja, und hier ist noch eine orangefarbene Koordinate und eine pinkfarbene usw. und hier haben wir noch einmal wieder eine grünfarbene Gerade. Diese hat dann die Gleichung x - y = 4. Also das wissen wir jetzt schon, das ist schon klar. Wie kann man jetzt auf den dreidimensionalen Raum erweitern? Wir nehmen einmal diese Gleichung hier: x - y + z = 4. Wir haben gerade schon hier im Bild gesehen x -y = 4. Das ist diese Gerade hier. Wie groß muss z sein, wenn wir das jetzt einmal in den dreidimensionalen Raum erweitern damit x - y + z  = 4 erfüllt ist? Na ja, z muss dann 0 sein. D.h. wir hätten jetzt alle Punkte, die hier liegen und deren z-Koordinate 0 ist, erfüllen die Gleichung x - y + z  = 4. Wir hatten auch diese Gerade x - y = 3. Wenn wir die jetzt einmal in den dreidimensionalen Raum erweitern wollen und wir haben die Gleichung x - y + z  = 4, dann wissen wir, z muss 1 sein, damit diese Gleichung erfüllt ist. Denn für diese punkte gilt ja schon x - y = 3 und wenn wir dann jeweils noch hier dieses z - 1 = 3 hinzuaddieren, dann ist diese Gleichung richtig. Diese Punkte liegen dann hier ungefähr. Also ich habe einfach hier diese Gerade hier um eine Einheit angehoben. Das ist hier ungefähr. Was ist mit dieser Geraden hier? Im zweidimensionalen gesehen waren das ja hier alles die Punkte, die die Gleichung x - y = 2 erfüllen. Wenn wir die jetzt verwenden wollen, um die Gleichung x - y + z  = 4 zu erfüllen, dann muss z = 2 sein, also hier ungefähr und dann erfüllen alle diese Punkte hier die Gleichung x - y + z  = 4. Und so sind jetzt die beiden hier schon schwebende Geraden. So kann man sich die vorstellen. Nehmen wir die Letzte auch noch hinzu. Hier im Zweidimensionalen galt für diese beiden Punkte x - y = 1. Wenn wir also die verwenden wollen, damit x - y + z  = 4 ist, dann muss z jeweils 3 sein und dann bekommen wir diese Punkte hier. Die erfüllen auch alle die Gleichung x - y + z  = 4. Ja und ich versuche jetzt das alles hier auf einmal hinzuhalten. So waren ungefähr unsere drei Geraden, bzw. die vierte Gerade liegt da noch; sie erfüllt auch die Gleichung. Ja und ich glaube das kann man so ungefähr sehen. Immer wenn wir für z einen bestimmten Wert einsetzen, dann bekommen wir Punkte die alle auf so einer Geraden liegen. Wenn wir diese Geraden alle aneinander setzen, dann liegen die hier alle auf dieser Ebene. Ja und ich hoffe, Du konntest dir so jetzt ungefähr vorstellen, warum eine Koordinatenform tatsächlich eine Ebene beschreibt. Man kann sich das natürlich noch an vielen anderen Bespielen vorstellen und durchrechnen. Vielleicht siehst du das ja auch als Anlass und hast ein ganz anderes Empfinden was da eine Begründung sein könnte. Dafür dass eine solche Gleichung tatsächlich eine Ebene darstellt, ich weiß es nicht. Aber das war hier meine Erklärung dazu. Ja, viel Spaß damit, bis bald, tschüß.

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