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Transkript Ebenengleichungen in Koordinatenform aufstellen

Hallo! Hier ist also der 2. Teil. Wir möchten eine Ebene finden, durch die Dreieckspunkte M1 M2 E. Und wir haben schon eine Parametergleichung. Vielleicht eine kleine Anmerkung noch - ich weiß nicht, ob man es hätte sagen sollen - r1^-> und r2^-> müssen selbstverständlich linear unabhängig sein. Da es sich hier um 2 Dreiecksseiten handelt, ist das auf jeden Fall gegeben. Ich weiß nicht, ob man es für die korrekte Lösung dann auch noch angeben muss, dass das so ist. Sie sind auf jeden Fall linear unabhängig, und wenn man daran denkt, ist es sicher auch gut, dass man es dann sagt.   So. Wir möchten eine Ebenengleichung haben, in Koordinatenform. Das Interessante ist hier jetzt dabei, dass wir einen Normalenvektor suchen, das heißt, einen Vektor, der also senkrecht zu dieser Ebene ist. Und man kann das über das Vektorprodukt machen, das haben aber nicht alle gemacht. Wenn du das Vektorprodukt gehabt dann rechne einfach aus: Ist der Normalenvektor da? Kein Problem. Wir können es aber auch ganz elementar machen, und zwar indem wir nämlich sagen, wir wissen ja: 2 Vektoren sind rechtwinklig zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Also schreibe ich hier mal ... Das n^-> soll der Normalenvektor sein. Also, hier ist der Richtungsvektor, also (2, 0, -2) × Normalenvektor. Das muss 0 sein, wenn dieser Normalenvektor n^-> rechtwinklig zu diesem Richtungsvektor ist. Und: Wir suchen ja einen Normalenvektor, der jetzt auch rechtwinklig ist zu dem anderen Richtungsvektor (orthogonal ist, wie man auch sagt). Also muss auch gelten: Richtungsvektor 2, also (0, 2, -2) × Normalenvektor, das ist gleich 0. Die beiden Skalarprodukte müssen 0 sein, weil Vektoren genau dann rechtwinklig zueinander sind, oder genau dann orthogonal sind, wenn deren Skalarprodukt 0 ist. Ich schreibe das mal hier in Zeilen auf, das heißt, wir haben hier jetzt z.B. 2×n1 (also n1 soll jetzt die x-Koordinate von n^-> sein) +0×n2 (das ist die y-Koordinate von n^->; und n3 ist dann die z-Koordinate). Also, 2×n1+0×n2-2×n3=0. Außerdem soll gelten: 0×n1+2×n2-2×n3=0. So, das ist ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen, das bedeutet, du kannst also hier eine Variable setzen. Das heißt, du setzt einfach irgendeine Zahl für z.B. n3 ein, erhältst dann ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen, was dann in der Regel eindeutig lösbar ist. Hier empfiehlt es sich, für n3 nicht 0 einzusetzen. Oder die Zahl, die du dann frei wählen kannst, ist nicht ganz frei. 0 ist meistens keine so gute Zahl, hier in diesem Zusammenhang. Da gehe ich jetzt nicht weiter darauf ein, warum das so ist. Aber: Du kannst es dir hier auch einfacher machen, durch scharfes Angucken nämlich. Wir haben hier in der 2. Gleichung folgende Situation: 0×n1 fällt ja sowieso weg. Wir haben 2×n2-2×n3, das soll gleich 0 sein. Das bedeutet, n2 und n3 müssen natürlich gleich groß sein, denn nur wenn ich hier das Eine einsetze und das Andere hier gleich groß ist, dann ist 2×etwas-2×etwas gleich 0. Und die beiden müssen natürlich gleich sein. Das kann man auch mit Gleichungsauflösungen machen. Ich mache es jetzt hier mal so im Kopf. Das Gleiche gilt für 2×n1-2×n3. Da müssen auch n1 und n3 gleich groß sein. Damit ist also n3 so groß wie n2 und n3 so groß wie n1. Damit sind alle Koordinaten also gleich groß, und deshalb können wir hier einfach hinschreiben:  Aus dieser ganzen Sache folgt hier (ich mache mal so diesen Folgerungspfeil), dass n^-> folgender Vektor sein kann:  nämlich der Vektor (1, 1, 1). Das ist ein geeigneter Normalenvektor für diese Ebene. Das kann man natürlich auch jetzt hier ganz normal mit einem Gleichungssystem machen, aber ich wollte mal zeigen, wie man sich das auch so mal eben überlegen kann.   Nachdem wir jetzt den Normalenvektor haben, möchte ich einfach mal die Normalenform aufschreiben, und aus dieser Normalenform dann eine Koordinatenform machen. Es war ja gefragt, diese Ebenengleichung auch in Koordinatenform aufzuschreiben. Diese kleine Umformung, die man hier mit der Normalenform machen kann, die finde ich sehr lehrreich, und deshalb zeige ich sie eben. Manchmal wird die so ein bisschen beiseite geschubst, aber ich man kann das hier wirklich schön sehen, was auch so eine Normalenform bedeutet. Also, ich werde einfach hier das Distributivgesetz anwenden und die Klammer auflösen. Dann habe ich hier n^->×x^->-n^->×p^-> (Vektor n × Vektor p, selbstverständlich). Und daraus folgt jetzt, also, Äquivalenzumformung: n^->×x^->=n^->×p^->. Wenn ich nämlich auf beiden Seiten hier +n^->×p^-> rechne. So, was bringt mir das jetzt? Ich weiß ja schon, dass n^-> gleich (1, 1, 1) ist, oder zumindest sein kann. (1, 1, 1)×x^->= ... Ja, da mache ich hier eben eine Nebenrechnung: n^->×p^->. Wir haben gesagt, n^-> soll (1, 1, 1) sein; p^-> ... Ja, das müsste jetzt irgendein Punkt der Ebene sein. Ich entscheide mich hier für den Punkt E, der die Koordinaten (0, 0, 4) hat. Den darf ich hier einsetzen. Das ist also hier n^->×p^->, das ist aber einfach diese Nebenrechnung. Was muss ich machen? 1×0, 1×0 und +1×4, das ist insgesamt 4. Deshalb kommt das hier raus. 4 kommt raus, wenn ich für n^-> (1, 1, 1) einsetze und für p^-> (0, 0, 4). Und oft wird das auch in der Zeilenform geschrieben. Da könnte man natürlich auch sagen, das ist schon die Koordinatenform. Aber oft wird es auch anders geschrieben. Das heißt, wir hätten hier jetzt 1×x+1×y+1×z (das "1×" lasse ich jedes Mal weg) =4. Auch das ist eine Koordinatenform. Wenn die 3 Achsen x, y und z heißen. Sollten sie natürlich x1, x2, x3 heißen, stünde hier x1+x2+x3=4. Das ist eine Ebenengleichung der Ebene, durch dieses Dreieck, durch dieses rote Dreieck hier, in Koordinatenform.   Und ich wollte noch eine Möglichkeit erklären, wie man auch anders auf diese Koordinatenform kommen kann. Also wenn man sich vielleicht in solchen Aufgaben ein bisschen mit Ruhm bekleckern möchte, kann man da auch ruhig ungewöhnliche Lösungen mal zeigen. Ich weiß nicht, ob es so ungewöhnlich ist - ich möchte es einfach mal demonstrieren. Also, wir könnten natürlich diese Ebene hier nach unten verschieben, sodass sie also auf der xy-Ebene aufsetzt. Also so würde das dann ungefähr aussehen, wenn es nicht umfällt. Nicht wahr? So könnte man das machen. Warum? Was habe ich davon? Wenn ich also die Koordinatenform einer Ebene suche, dann kann ich auch einen Normalenvektor suchen von einer Ebene, die parallel zu der Ebene ist, deren Normalenvektor ich suche. Um die Koordinatenform zu bekommen, brauche ich ja den Normalenvektor, und ich kann auch von irgendeiner anderen, parallelen Ebene den Normalenvektor bilden, und der ist gut genug für die Ebene, die ich dann suche. Das weiß man. Darf man ruhig wissen, also, wenn man ordentlich aufgepasst hat in der Schule. Nicht wahr? Was bringt mir das? Also, ich habe jetzt diese Ebene hier parallel verschoben, sie von oben nach unten verschoben. Ich habe ein neues Dreieck erhalten, das jetzt folgende Koordinaten hat: Nämlich, E' ist jetzt diese Koordinate hier, die ist ... (Ja, ich schreibe das einfach mal so hier mit der Klammer auf.) ... die ist (0, 0, 2). Vorher war ja E (0, 0, 4); jetzt ist es um 2 Einheiten nach unten gerutscht und ist jetzt (0, 0, 2). Dieser Punkt hier, der vorher M1 war, der heißt jetzt M1'. Und der hat die Koordinaten (2, 0, 0). Und M2', hier, hat die Koordinaten (0, 2, 0). So, und jetzt fällt mir auf, dass diese Koordinaten die Spurpunkte der Ebene sind. Das sind ja hier die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Das bedeutet, ich möchte jetzt einen Normalenvektor finden, für den gilt: n1×x+n2×y+n3×z=d. So wird ja die Koordinatenform normalerweise aufgeschrieben. Und ich weiß jetzt, wenn also z.B. x und y 0 sind und z 2 ist, dann muss ich hier etwas für n3 einsetzen, damit n3×2 d ergibt. Das Gleiche gilt hier für y, da nämlich. Dann ist x und z 0. Ich muss etwas für n2 einsetzen, sodass n2×2 d ergibt. Genauso hier n1×2=d. Woraus ich also messerscharf folgern kann, dass n1, n2 und n3 alle gleich groß sein müssen. Außerdem weiß ich ja, dass alle Vielfachen eines Normalenvektors einer Ebene ebenfalls Normalenvektoren dieser Ebene sind. Das bedeutet also, ich kann mir hier irgendwelche Zahlen aussuchen, und ich entscheide mich für n^->=(1, 1, 1). Wenn hier ein bestimmtes d steht, kann es durchaus sein, dass hier diese 1, wenn ich sie für n1 einsetze, nicht in Ordnung ist, weil ja z.B. n1 ... Wenn ich hier 1 einsetze, dann steht da 1×2, und wenn hier 3 steht, dann stimmt das natürlich nicht. Aber ich habe ja hier einmal gesagt, daraus schließe ich, dass die 3 Koordinaten des Normalenvektors untereinander gleich sein müssen. Ich darf dann irgendeine Zahl nehmen, außer 0. Das habe ich hier gemacht und deshalb ist das hier ein Normalenvektor, der hier richtig ist. Und so kann man also auch zu einem Normalenvektor kommen. Und der Rest ist dann ja relativ einfach. Also, hier dieses d zu bekommen. Wenn man das dann in die Normalenform einsetzt, dann ist man auch direkt fertig. Vielleicht sagen manche Leute, das ist ein bisschen umständlich, das Andere war besser. Egal, ich habe beide Möglichkeiten gezeigt.   Ich hoffe, du hattest viel Spaß! Bis bald! Tschüss!    

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1 Kommentar
  1. Default

    viel zu kompliziert. Einfach die 2 richtungsvektoren durch kreuzprodukt zum vektor n ausrechnen und dann in die koordinatenform einsetzen, weil die x1 x2 x3 unserer koordinatenform die x1 x2 x3 von unser n ist.

    Von Temtec, vor mehr als 7 Jahren
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