Ebenen in Normalenform

Hallo. In diesem Video möchte ich Ebengleichung in Normalenform vorstellen. Eine Ebene wird durch ihre 3 Punkte eindeutig bestimmt. Oder sie kann auch durch einen Punkt und einen normalen Vektor bestimmt werden. Unter einem normalen Vektor versteht man dabei einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Der erste Ansatz führt uns zu einer Gleichung in Parameterform und der Zweite zu Normalenform.
Den Ansatz für die Normalenform kann man sehr leicht theoretisch begründen. Wir betrachten einen Vektor n, der von einem Punkt ausgeht, und betrachten dazu die Menge aller Vektoren, die zu diesen Vektor senkrecht stehen. Die Gesamtheit aller dieser Vektoren ergibt eine Ebene. Hier kann man sehr gut sehen, dass diese Ebene durch 2 Elemente definiert ist. Durch den Punkt und durch den Vektor n. Wie kann man nun diese Eigenschaft in eine Gleichung verpacken? Wir betrachten eine Ebene mit einem gegebenen Punkt und einem normalen Vektor. Der Punkt ist durch seinen Ortsvektor gegeben. Wir bezeichnen ihn mit a. Er beginnt im Ursprung unseres Koordinatensystems mit den Achsen x, y, z. Wir betrachten einen Punkt, mit dem Ortsvektor x. Der liegt genau dann auf der Ebene, wenn der Vektor a-x auf der Ebene liegt und dies ist genau dann der Fall wenn der Vektor a-x und die Normale n senkrecht aufeinander stehen. Und wie wir wissen Skalarprodukt von 2 senkrecht aufeinander stehenden Vektoren ist 0. Das heißt, wir können schreiben:
n multipliziert mit dem Vektor a-x=0
Dies lässt sich natürlich auch als
(a-x)n=0 schreiben. So steht es nämlich in den meisten Schulbüchern.
Das ist die gesuchte Ebenengleichung in Normalenform. Als Nächstes betrachten wir ein Beispiel.
Gegeben sei: x=101+s×Vektor 270+t×Vektor151
Dies ist eine Ebenengleichung in Parameterform. Gesucht ist die Ebenengleichung in Normalenform.
Als 1. bestimmen wir eine Normale. Dafür nehmen wir uns 2 Vektoren, die auf der Ebene liegen. Es bieten sich 2 Richtungsvektoren von der Parameterdarstellung, das heißt 270 und 151, an. Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren mit dem normalen Vektor, soll 0 ergeben. Wir multiplizieren die Skalarprodukte aus und bekommen ein Gleichungssystem. Die 1. Gleichung lautet 2n₁+7n₂=0 und die 2. n₁+5n₂+n₃=0. Dieses Gleichungssystem wollen wir jetzt lösen. Dafür multiplizieren wir die 2. Gleichung mit 2 und subtrahieren davon die 1. Gleichung. Wir erhalten 3n₂+n₃=0. Das heißt für n₂ ergibt sich n₂= -n₃÷3. Da unser System unterbestimmt ist, das heißt wir haben 2 Gleichungen und 3 Unbekannte, können wir eine Unbekannte frei wählen. In diesem Fall wählen wir n₃=6. Daraus ergibt sich n₂= -2. Aus der 1. Gleichung haben wir das n₁= -7÷2×n₂ ist. Wir setzen n₂ ein und bekommen 7. Somit haben wir unseren normalen Vektor bekommen, der lautet: 7-2 6. Wenn wir für n₃ eine andere Zahl ausgewählt hätten, dann hätten wir auch eine andere Normale bekommen. Das heißt, sie ist nicht eindeutig bestimmt. Das muss sie auch nicht, denn es gibt viele parallele Vektoren, die senkrecht auf der Ebene stehen. Nun sind wir an unserem Ziel angelangt und können sie gleich in der Normalenform schreiben. Als 1. wählen wir einen festen Punkt. Dies kann ein beliebiger Punkt aus der Ebene sein. Zum Beispiel der Punkt 1 0 1 aus der Parameterdarstellung. Jetzt kommt -x skalar multipliziert mit der Normale 7-2 6 =0. Wir haben unser Ziel erreicht, und die Ebenengleichung in der Normalenform aufgestellt. Das war es zur Normalenform.
Vielen Dank für ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Geometrie.